gdz.top
Номер 20.24, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2017 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-360-10851-1
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 3. Тригонометрические функции. Параграф 20. Периодические функции - номер 20.24, страница 154.
№20.23
№20.24 (с. 154)
Условие. №20.24 (с. 154)
20.24. Функция $f$ такова, что при всех $x \in R$ выполняется равенство $f(x+1) = \frac{f(x)-1}{f(x)+1}$. Докажите, что $f$ — периодическая функция.
Решение. №20.24 (с. 154)
Чтобы доказать, что функция $f$ является периодической, нужно показать, что существует такое число $T \ne 0$ (называемое периодом), что для всех $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + T) = f(x)$.
Воспользуемся данным в условии равенством $f(x + 1) = \frac{f(x) - 1}{f(x) + 1}$ и последовательно найдем выражения для $f(x + 2)$, $f(x + 3)$ и $f(x + 4)$.
1. Найдем $f(x + 2)$. Для этого в исходном равенстве заменим $x$ на $x + 1$:$f(x + 2) = f((x + 1) + 1) = \frac{f(x + 1) - 1}{f(x + 1) + 1}$
Теперь подставим в это выражение $f(x + 1) = \frac{f(x) - 1}{f(x) + 1}$:$f(x + 2) = \frac{\frac{f(x) - 1}{f(x) + 1} - 1}{\frac{f(x) - 1}{f(x) + 1} + 1}$
Упростим полученное выражение, приведя к общему знаменателю в числителе и знаменателе дроби:$f(x + 2) = \frac{\frac{f(x) - 1 - (f(x) + 1)}{f(x) + 1}}{\frac{f(x) - 1 + (f(x) + 1)}{f(x) + 1}} = \frac{\frac{f(x) - 1 - f(x) - 1}{f(x) + 1}}{\frac{f(x) - 1 + f(x) + 1}{f(x) + 1}} = \frac{\frac{-2}{f(x) + 1}}{\frac{2f(x)}{f(x) + 1}}$
Сократив дробь, получим:$f(x + 2) = \frac{-2}{2f(x)} = -\frac{1}{f(x)}$
2. Теперь, используя полученное соотношение $f(x + 2) = -\frac{1}{f(x)}$, найдем $f(x + 4)$. Для этого в этом новом равенстве заменим $x$ на $x + 2$:$f(x + 4) = f((x + 2) + 2) = -\frac{1}{f(x + 2)}$
Подставим в правую часть выражение для $f(x+2)$, которое мы нашли на предыдущем шаге:$f(x + 4) = -\frac{1}{-\frac{1}{f(x)}} = f(x)$
Мы получили, что для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(x + 4) = f(x)$. Это по определению означает, что функция $f$ является периодической, и $T = 4$ является одним из ее периодов.
Ответ: Утверждение доказано. Функция является периодической с периодом $T=4$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 20.24 расположенного на странице 154 к учебнику серии алгоритм успеха 2017 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №20.24 (с. 154), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.