Номер 21.6, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.6. Постройте график функции:

1) $y=2\sin\left|x+\frac{\pi}{6}\right|$;

2) $y=-\cos\left|x-\frac{\pi}{4}\right|$.

1) $y = 2\sin\left|x + \frac{\pi}{6}\right|$

Построение графика этой функции выполняется путем последовательных преобразований графика базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Построение графика $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$:
   • Начнем с графика $y = \sin(x)$.
   • Растянем его от оси Ox (вдоль оси Oy) в 2 раза. Получим график $y = 2\sin(x)$. Амплитуда функции станет равной 2, а область значений [-2; 2].
   • Сдвинем полученный график влево по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$. Получим график функции $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.
2. Применение модуля к аргументу: построение $y = 2\sin\left|x + \frac{\pi}{6}\right|$:

   Чтобы построить график функции вида $y = f(|x-a|)$ из графика $y = f(x-a)$, необходимо:

   1. Часть графика $y = f(x-a)$, для которой $x \ge a$, оставить без изменений.
   2. Эту же часть (где $x \ge a$) симметрично отразить относительно вертикальной прямой $x = a$ на область $x < a$.

   В нашем случае $a = -\frac{\pi}{6}$. Следовательно, для построения графика $y = 2\sin\left|x + \frac{\pi}{6}\right|$:

   • Берем график $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, построенный на шаге 1.
   • Оставляем без изменений часть этого графика, где $x \ge -\frac{\pi}{6}$.
   • Отражаем эту часть симметрично относительно прямой $x = -\frac{\pi}{6}$.

Алгебраически это означает, что график состоит из двух частей:
$y = \begin{cases} 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right), & \text{при } x \ge -\frac{\pi}{6} \\ 2\sin\left(-\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right), & \text{при } x < -\frac{\pi}{6} \end{cases}$
Так как синус — нечетная функция ($\sin(-t) = -\sin(t)$), второе условие преобразуется к виду $y = -2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Ответ: График функции $y = 2\sin\left|x + \frac{\pi}{6}\right|$ получается из графика $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ путем сохранения его части при $x \ge -\frac{\pi}{6}$ и симметричного отражения этой части относительно вертикальной прямой $x = -\frac{\pi}{6}$.

2) $y = -\cos\left|x - \frac{\pi}{4}\right|$

Для анализа и построения этой функции воспользуемся свойством четности функции косинус.

Функция косинус является четной, то есть для любого аргумента $t$ выполняется равенство $\cos(-t) = \cos(t)$. Это означает, что $\cos|t| = \cos(t)$.
В нашем случае аргументом является $t = x - \frac{\pi}{4}$. Применяя свойство четности, получаем:
$\cos\left|x - \frac{\pi}{4}\right| = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y = -\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$. Модуль в данном случае не меняет вид функции.

Построение графика $y = -\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ выполняется в несколько шагов:

1. Строим график базовой функции $y = \cos(x)$.
2. Отражаем его симметрично относительно оси абсцисс (оси Ox). Получаем график $y = -\cos(x)$.
3. Сдвигаем полученный график вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Это и есть искомый график $y = -\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Ответ: График функции $y = -\cos\left|x - \frac{\pi}{4}\right|$ совпадает с графиком функции $y = -\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$. Он получается из графика $y = \cos(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox и последующего сдвига вправо на $\frac{\pi}{4}$.