Номер 21.10, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.10. Постройте график функции $y = -3\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 2.$

Для построения графика функции $y = -3\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) + 2$ выполним последовательность преобразований, исходя из базового графика функции $y = \sin(x)$.

1. Построим график базовой функции $y_1 = \sin(x)$. Это синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1, проходящая через начало координат.

2. Далее, выполним растяжение графика вдоль оси Ox в 2 раза. Это соответствует замене аргумента $x$ на $\frac{x}{2}$. Получим функцию $y_2 = \sin(\frac{x}{2})$. Ее период будет равен $T = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

3. Следующим шагом выполним сдвиг графика вправо вдоль оси Ox. Для этого представим аргумент синуса в виде $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})$. Это означает, что сдвиг происходит на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Получаем функцию $y_3 = \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})) = \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})$.

4. Теперь умножим функцию на -3. Это преобразование включает в себя два действия: растяжение графика вдоль оси Oy в 3 раза (амплитуда колебаний станет равна 3) и его отражение относительно оси Ox (из-за знака "минус"). Получим функцию $y_4 = -3\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})$. Область значений этой функции $[-3, 3]$.

5. Наконец, прибавим 2, чтобы выполнить сдвиг графика вверх на 2 единицы. Получаем искомую функцию $y = -3\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) + 2$. Ось симметрии графика (средняя линия) теперь проходит через $y=2$, а область значений функции становится $[2-3, 2+3]$, то есть $[-1, 5]$.

Для точного построения графика найдем ключевые точки на одном периоде. Период функции $T = 4\pi$.
- Начало "отраженного" периода (пересечение средней линии $y=2$ при движении вниз) соответствует аргументу синуса, равному 0: $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} \implies x = \frac{\pi}{3}$. Получаем точку $(\frac{\pi}{3}, 2)$.
- Точка минимума достигается, когда синус равен 1 (так как коэффициент -3): $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \implies \frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} \implies x = \frac{4\pi}{3}$. Значение $y = -3(1) + 2 = -1$. Получаем точку $(\frac{4\pi}{3}, -1)$.
- Середина периода (пересечение средней линии $y=2$ при движении вверх) соответствует аргументу синуса, равному $\pi$: $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \pi \implies \frac{x}{2} = \frac{7\pi}{6} \implies x = \frac{7\pi}{3}$. Получаем точку $(\frac{7\pi}{3}, 2)$.
- Точка максимума достигается, когда синус равен -1: $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \implies \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{3} \implies x = \frac{10\pi}{3}$. Значение $y = -3(-1) + 2 = 5$. Получаем точку $(\frac{10\pi}{3}, 5)$.
- Конец периода соответствует аргументу синуса, равному $2\pi$: $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = 2\pi \implies \frac{x}{2} = \frac{13\pi}{6} \implies x = \frac{13\pi}{3}$. Получаем точку $(\frac{13\pi}{3}, 2)$.
Соединяя эти точки плавной кривой, получаем график функции на одном периоде $[\frac{\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}]$. Далее график периодически повторяется.

Ответ: График функции $y = -3\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) + 2$ является синусоидой, которая получена из графика $y = \sin(x)$ путем следующих преобразований: растяжение в 2 раза по оси Ox, сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ вправо, растяжение в 3 раза по оси Oy с отражением относительно оси Ox, и сдвиг на 2 единицы вверх. Период функции $4\pi$, область значений $[-1, 5]$.