Номер 21.16, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.16. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{\sin x})^2$;

2) $y = \cos x + \sqrt{\cos^2 x}$;

3) $y = \sqrt{-\sin^2 x}$;

4) $y = \frac{\sin |x|}{\sin x}$;

5) $y = \frac{\sin x}{|\sin x|}$;

6) $y = \operatorname{tg} x |\cos x|$.

1) Для функции $y = (\sqrt{\sin x})^2$ сначала найдем область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $\sin x \ge 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих отрезкам $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
На этой области определения функция упрощается: $y = (\sqrt{\sin x})^2 = \sin x$.
Таким образом, график данной функции совпадает с графиком функции $y = \sin x$ на тех промежутках, где $\sin x \ge 0$, и не существует там, где $\sin x < 0$. Графически это представляет собой "арки" синусоиды, расположенные в верхней полуплоскости (включая точки на оси Ox).
Ответ: График функции — это совокупность частей графика $y=\sin x$ на промежутках вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Преобразуем функцию $y = \cos x + \sqrt{\cos^2 x}$. Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $y = \cos x + |\cos x|$.
Далее рассмотрим два случая раскрытия модуля:
1. Если $\cos x \ge 0$, что соответствует $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = \cos x$. В этом случае функция принимает вид $y = \cos x + \cos x = 2\cos x$.
2. Если $\cos x < 0$, что соответствует $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = -\cos x$. В этом случае функция принимает вид $y = \cos x - \cos x = 0$.
Следовательно, график функции состоит из чередующихся фрагментов: "арок" графика $y=2\cos x$ (косинусоида с удвоенной амплитудой) и отрезков прямой $y=0$ на оси абсцисс.
Ответ: График функции задается кусочно: $y = 2\cos x$ при $\cos x \ge 0$ и $y = 0$ при $\cos x < 0$.

3) Для функции $y = \sqrt{-\sin^2 x}$ найдем область определения из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-\sin^2 x \ge 0$.
Умножив обе части на $-1$, получим $\sin^2 x \le 0$.
Поскольку квадрат любой величины всегда неотрицателен, т.е. $\sin^2 x \ge 0$, единственная возможность для выполнения обоих условий — это равенство $\sin^2 x = 0$.
Это равенство достигается, когда $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, функция определена только в этих точках. Значение функции в этих точках равно $y = \sqrt{-0} = 0$.
Ответ: График функции представляет собой набор изолированных точек, лежащих на оси абсцисс: $(\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) Область определения функции $y = \frac{\sin|x|}{\sin x}$ задается условием, что знаменатель не равен нулю: $\sin x \ne 0$. Это означает, что $x \ne \pi k$ для любого целого $k$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция становится $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$. Это верно для всех $x > 0$, за исключением точек $x = \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$, где функция не определена.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Используя нечетность синуса ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем $y = \frac{\sin(-x)}{\sin x} = \frac{-\sin x}{\sin x} = -1$. Это верно для всех $x < 0$, за исключением точек $x = -\pi, -2\pi, \dots$.
В точке $x=0$ функция также не определена.
Ответ: График состоит из двух горизонтальных лучей: луча $y=1$ для $x>0$ и луча $y=-1$ для $x<0$. На этих лучах выколоты все точки с абсциссами $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, $k \ne 0$.

5) Область определения функции $y = \frac{\sin x}{|\sin x|}$ такова, что знаменатель не должен быть равен нулю: $|\sin x| \ne 0$, что равносильно $\sin x \ne 0$. Следовательно, $x \ne \pi k$ для любого целого $k$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\sin x$:
1. Если $\sin x > 0$, что происходит на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$.
2. Если $\sin x < 0$, что происходит на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид $y = \frac{\sin x}{-\sin x} = -1$.
График представляет собой бесконечную последовательность горизонтальных интервалов, расположенных на уровнях $y=1$ и $y=-1$.
Ответ: График функции — это совокупность открытых интервалов: $y=1$ на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$ и $y=-1$ на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

6) Область определения функции $y = \operatorname{tg} x |\cos x|$ определяется областью определения тангенса, то есть $\cos x \ne 0$, откуда $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.
Заменим $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$: $y = \frac{\sin x}{\cos x} |\cos x|$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $\cos x > 0$, что происходит на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция упрощается до $y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x$.
2. Если $\cos x < 0$, что происходит на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция упрощается до $y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\cos x) = -\sin x$.
Таким образом, график состоит из чередующихся фрагментов синусоид $y=\sin x$ и $y=-\sin x$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ функция не определена и имеет разрывы.
Ответ: График функции задается кусочно: $y = \sin x$ при $\cos x > 0$ и $y = -\sin x$ при $\cos x < 0$. Он представляет собой набор дуг синусоид с разрывами в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.