Номер 21.19, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.19. Постройте график уравнения:

1) $\cos\pi(x^2 + y^2) = 1$;

2) $\cos x + \cos y = -2$.

1)

Рассмотрим уравнение $cos(\pi(x^2 + y^2)) = 1$.

Функция косинус равна единице, когда ее аргумент является четным кратным числа $\pi$. То есть, $\pi(x^2 + y^2) = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Разделив обе части уравнения на $\pi$, получим:

$x^2 + y^2 = 2k$.

Выражение $x^2 + y^2$ представляет собой квадрат расстояния от начала координат до точки $(x, y)$, поэтому оно не может быть отрицательным: $x^2 + y^2 \ge 0$.

Следовательно, $2k \ge 0$, что означает $k \ge 0$. Таким образом, $k$ может быть любым целым неотрицательным числом: $k = 0, 1, 2, 3, \ldots$.

Уравнение вида $x^2 + y^2 = R^2$ задает на плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.

В нашем случае $R^2 = 2k$, значит, радиус $R = \sqrt{2k}$.

Рассмотрим несколько значений $k$:

• При $k=0$ получаем $x^2 + y^2 = 0$. Этому уравнению удовлетворяет только одна точка — начало координат $(0, 0)$.
• При $k=1$ получаем $x^2 + y^2 = 2$. Это окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $\sqrt{2}$.
• При $k=2$ получаем $x^2 + y^2 = 4$. Это окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $2$.
• При $k=3$ получаем $x^2 + y^2 = 6$. Это окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $\sqrt{6}$.

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой бесконечный набор концентрических окружностей с центром в точке $(0, 0)$, включая и саму эту точку (как окружность нулевого радиуса).

Ответ: График уравнения представляет собой точку $(0,0)$ и бесконечный набор концентрических окружностей с центром в точке $(0,0)$ и радиусами $\sqrt{2k}$, где $k$ — любое натуральное число ($k=1, 2, 3, \ldots$).

2)

Рассмотрим уравнение $cos x + cos y = -2$.

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любых действительных чисел $x$ и $y$ выполняются неравенства: $-1 \le cos x \le 1$ и $-1 \le cos y \le 1$.

Сумма $cos x + cos y$ может быть равна $-2$ только в том единственном случае, когда каждое из слагаемых принимает свое минимально возможное значение, равное $-1$.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$\begin{cases} \cos x = -1 \\ \cos y = -1 \end{cases}$

Решим каждое уравнение этой системы:

Уравнение $\cos x = -1$ имеет решения $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $\cos y = -1$ имеет решения $y = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, графиком данного уравнения является множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых имеют вид $(\pi + 2\pi n, \pi + 2\pi m)$, где $n$ и $m$ — любые целые числа. Эти точки образуют на плоскости бесконечную решетку.

Ответ: График уравнения представляет собой множество точек с координатами $(\pi + 2\pi n, \pi + 2\pi m)$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $m \in \mathbb{Z}$.