Номер 21.18, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.18. Постройте график уравнения:

1) $\sin \pi(x^2 + y^2) = 0$;

2) $\sin x + \sin y = 2$.

1)

Данное уравнение: $ \sin(\pi(x^2 + y^2)) = 0 $.

Функция синус равна нулю, когда ее аргумент равен целому числу, умноженному на $ \pi $. То есть, $ \sin(\alpha) = 0 $ при $ \alpha = k\pi $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Применительно к нашему уравнению это означает:

$ \pi(x^2 + y^2) = k\pi $

Разделив обе части уравнения на $ \pi $, получим:

$ x^2 + y^2 = k $

Поскольку $ x^2 \ge 0 $ и $ y^2 \ge 0 $, их сумма $ x^2 + y^2 $ также должна быть неотрицательной. Следовательно, $ k $ может быть только целым неотрицательным числом: $ k \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\} $.

Уравнение $ x^2 + y^2 = R^2 $ задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $ R $. В нашем случае $ R^2 = k $, значит $ R = \sqrt{k} $.

Рассмотрим различные значения $ k $:

• При $ k = 0 $, уравнение $ x^2 + y^2 = 0 $ имеет единственное решение $ x=0, y=0 $. Это точка — начало координат.
• При $ k = 1 $, уравнение $ x^2 + y^2 = 1 $ — это окружность с центром в начале координат и радиусом $ R = \sqrt{1} = 1 $.
• При $ k = 2 $, уравнение $ x^2 + y^2 = 2 $ — это окружность с центром в начале координат и радиусом $ R = \sqrt{2} $.
• При $ k = 3 $, уравнение $ x^2 + y^2 = 3 $ — это окружность с центром в начале координат и радиусом $ R = \sqrt{3} $.

И так далее для всех целых неотрицательных $ k $.

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой бесконечный набор концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусами $ \sqrt{k} $, где $ k = 0, 1, 2, 3, \ldots $ (включая точку (0,0) при k=0).

Ответ: Графиком уравнения является начало координат и бесконечное множество концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусами $ R_k = \sqrt{k} $, где $ k $ — любое натуральное число ($ k \in \mathbb{N} $).

2)

Дано уравнение: $ \sin x + \sin y = 2 $.

Область значений функции синус — это отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что для любых действительных чисел $ x $ и $ y $ выполняются неравенства:

$ -1 \le \sin x \le 1 $

$ -1 \le \sin y \le 1 $

Сумма $ \sin x + \sin y $ может быть равна 2 только в том случае, когда каждое из слагаемых принимает свое максимальное возможное значение, равное 1.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$ \begin{cases} \sin x = 1 \\ \sin y = 1 \end{cases} $

Решим каждое уравнение по отдельности.

Уравнение $ \sin x = 1 $ имеет решения: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Уравнение $ \sin y = 1 $ имеет решения: $ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Таким образом, графиком исходного уравнения является множество всех точек $ (x, y) $ на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют этим условиям. Эти точки образуют бесконечную решетку.

Ответ: Графиком уравнения является множество точек с координатами $ \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi m \right) $, где $ n $ и $ m $ — любые целые числа ($ n \in \mathbb{Z}, m \in \mathbb{Z} $).