Номер 21.17, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.17. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{\cos x})^2;$

2) $y = \sin x - \sqrt{\sin^2 x};$

3) $y = \sqrt{\sin x - 1};$

4) $y = \frac{|\cos x|}{\cos x};$

5) $y = \operatorname{ctg} x |\sin x|;$

6) $y = \frac{\sin|x|}{|\sin x|}.$

1) $y = (\sqrt{\cos x})^2$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $\cos x \geq 0$.
Это неравенство выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На области определения функции справедливо тождество $(\sqrt{a})^2 = a$. Следовательно, функцию можно упростить до $y = \cos x$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \cos x$ на тех промежутках, где $\cos x \geq 0$. График представляет собой совокупность "шапок" (арок) косинусоиды, расположенных на оси абсцисс и выше неё.

Ответ: Графиком функции является совокупность арок кривой $y = \cos x$ для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \sin x - \sqrt{\sin^2 x}$

Область определения функции — все действительные числа, так как $\sin^2 x \geq 0$ для любого $x$.
Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда функция принимает вид: $y = \sin x - |\sin x|$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $\sin x \geq 0$, что соответствует $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция становится $y = \sin x - \sin x = 0$.
2. Если $\sin x < 0$, что соответствует $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция становится $y = \sin x - (-\sin x) = 2\sin x$.
График функции состоит из отрезков прямой $y=0$ на промежутках, где синус неотрицателен, и из частей графика $y=2\sin x$ (синусоида с удвоенной амплитудой), где синус отрицателен.

Ответ: График функции представляет собой совокупность отрезков оси абсцисс на промежутках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ и участков кривой $y=2\sin x$ на промежутках $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \sqrt{\sin x - 1}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\sin x - 1 \geq 0$, откуда $\sin x \geq 1$.
Поскольку мы знаем, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $\sin x \leq 1$ для любого $x$, единственная возможность для выполнения неравенства $\sin x \geq 1$ — это равенство $\sin x = 1$.
Это уравнение имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для этих значений $x$ значение функции будет $y = \sqrt{1 - 1} = 0$.
Таким образом, область определения функции состоит из набора изолированных точек, и график функции также будет состоять из набора изолированных точек.

Ответ: График функции — это множество точек с координатами $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \frac{|\cos x|}{\cos x}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1. Если $\cos x > 0$, что соответствует $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид $y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$.
2. Если $\cos x < 0$, что соответствует $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид $y = \frac{-\cos x}{\cos x} = -1$.
График представляет собой набор горизонтальных интервалов на уровнях $y=1$ и $y=-1$. Точки с абсциссами $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются точками разрыва (на графике они изображаются как выколотые точки).

Ответ: График функции — это совокупность интервалов: $y=1$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ и $y=-1$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5) $y = \operatorname{ctg} x |\sin x|$

Область определения функции: $\operatorname{ctg} x$ не определен, когда $\sin x = 0$, то есть при $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Заменим $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Функция примет вид: $y = \frac{\cos x}{\sin x} |\sin x|$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $\sin x > 0$, что соответствует $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция становится $y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x$.
2. Если $\sin x < 0$, что соответствует $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция становится $y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot (-\sin x) = -\cos x$.
График состоит из частей косинусоиды $y=\cos x$ на интервалах, где синус положителен, и частей графика $y=-\cos x$ (косинусоида, отраженная относительно оси Ox) на интервалах, где синус отрицателен. В точках $x = \pi k$ на графике будут выколотые точки.

Ответ: График функции совпадает с графиком $y=\cos x$ на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$ и с графиком $y=-\cos x$ на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6) $y = \frac{\sin|x|}{|\sin x|}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $|\sin x| \neq 0$, что равносильно $\sin x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
1. При $x > 0$, $|x|=x$, и функция $y = \frac{\sin x}{|\sin x|}$.
- Если $\sin x > 0$, то $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$.
- Если $\sin x < 0$, то $y = \frac{\sin x}{-\sin x} = -1$.
2. При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция $y = \frac{\sin(-x)}{|\sin x|} = \frac{-\sin x}{|\sin x|}$ (т.к. синус - нечетная функция).
- Если $\sin x > 0$, то $y = \frac{-\sin x}{\sin x} = -1$.
- Если $\sin x < 0$, то $y = \frac{-\sin x}{-\sin x} = 1$.
График функции является кусочно-постоянным и состоит из интервалов на уровнях $y=1$ и $y=-1$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность интервалов прямых. Для $x > 0$: $y=1$ при $\sin x > 0$ и $y=-1$ при $\sin x < 0$. Для $x < 0$: $y=1$ при $\sin x < 0$ и $y=-1$ при $\sin x > 0$. Точки $x=\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, являются точками разрыва.