Вопросы?, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

Перечислите свойства функции $y = \operatorname{tg}x, y = \operatorname{ctg}x$.

Свойства функции y = tg x

• Область определения: все действительные числа, кроме тех, в которых косинус равен нулю, так как $tg(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Это точки вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

  Запись: $D(y): x \in R, x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

• Область значений: множество всех действительных чисел.

  Запись: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

• Четность: функция является нечетной, так как $tg(-x) = -tg(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат.

• Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$.

• Нули функции: функция равна нулю, когда ее числитель $\sin(x)$ равен нулю. Это происходит в точках $x = \pi k$, где $k \in Z$.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $y > 0$ на интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in Z$.

  • $y < 0$ на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi k)$, где $k \in Z$.

• Промежутки монотонности: функция строго возрастает на всей области своего определения, т.е. на каждом из интервалов $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in Z$.

• Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.

• Асимптоты: прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$, являются вертикальными асимптотами.

Ответ: Основные свойства функции $y = tg x$ включают: область определения $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$; область значений $(-\infty; +\infty)$; нечетность; периодичность с периодом $\pi$; нули при $x = \pi k$; возрастание на всей области определения; отсутствие экстремумов; наличие вертикальных асимптот $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$.

Свойства функции y = ctg x

• Область определения: все действительные числа, кроме тех, в которых синус равен нулю, так как $ctg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$. Это точки вида $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число.

  Запись: $D(y): x \in R, x \neq \pi k, k \in Z$.

• Область значений: множество всех действительных чисел.

  Запись: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

• Четность: функция является нечетной, так как $ctg(-x) = -ctg(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат.

• Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$.

• Нули функции: функция равна нулю, когда ее числитель $\cos(x)$ равен нулю. Это происходит в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in Z$.

• Промежутки знакопостоянства:

  • $y > 0$ на интервалах $(\pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in Z$.

  • $y < 0$ на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi k, \pi(k+1))$, где $k \in Z$.

• Промежутки монотонности: функция строго убывает на всей области своего определения, т.е. на каждом из интервалов $(\pi k, \pi(k+1))$, где $k \in Z$.

• Экстремумы: функция не имеет точек максимума и минимума.

• Асимптоты: прямые вида $x = \pi k$, где $k \in Z$, являются вертикальными асимптотами.

Ответ: Основные свойства функции $y = ctg x$ включают: область определения $x \neq \pi k, k \in Z$; область значений $(-\infty; +\infty)$; нечетность; периодичность с периодом $\pi$; нули при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$; убывание на всей области определения; отсутствие экстремумов; наличие вертикальных асимптот $x = \pi k$.