Номер 22.5, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.5. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2}\text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1;$

2) $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right).$

1) Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{2}\text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1$, выполним последовательные преобразования графика основной функции $y = \text{ctg}(x)$.

Шаг 1. Строим график функции $y_0 = \text{ctg}(x)$. Это периодическая функция с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2. Строим график функции $y_1 = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Этот график получается из графика $y_0 = \text{ctg}(x)$ сдвигом влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Вертикальные асимптоты смещаются и теперь задаются уравнениями $x = k\pi - \frac{\pi}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3. Строим график функции $y_2 = \frac{1}{2}\text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Этот график получается из графика $y_1$ путем сжатия в 2 раза вдоль оси Oy. Все значения y умножаются на $\frac{1}{2}$.

Шаг 4. Строим искомый график функции $y = \frac{1}{2}\text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1$. Этот график получается из графика $y_2$ сдвигом вверх вдоль оси Oy на 1. "Центральная" линия графика, относительно которой располагаются ветви котангенсоиды, теперь $y=1$.

Свойства и ключевые точки итоговой функции:

• Область определения: $x + \frac{\pi}{4} \neq k\pi \implies x \neq k\pi - \frac{\pi}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Период: $T = \pi$.
• Вертикальные асимптоты: $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Найдем несколько точек для построения одной ветви, например, на интервале $(-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$:
– Если $x=0$, то $y = \frac{1}{2}\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) + 1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + 1 = 1.5$. Точка $(0; 1.5)$.
– Если $x=\frac{\pi}{4}$, то $y = \frac{1}{2}\text{ctg}(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) + 1 = \frac{1}{2}\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) + 1 = \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(\frac{\pi}{4}; 1)$.
– Если $x=\frac{\pi}{2}$, то $y = \frac{1}{2}\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) + 1 = \frac{1}{2}\text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) + 1 = \frac{1}{2} \cdot (-1) + 1 = 0.5$. Точка $(\frac{\pi}{2}; 0.5)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}\text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1$ получается из графика $y=\text{ctg}(x)$ путем сдвига влево на $\frac{\pi}{4}$, сжатия по оси Oy в 2 раза и сдвига вверх на 1. Асимптоты графика: $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Чтобы построить график функции $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$, выполним последовательные преобразования графика основной функции $y = \text{tg}(x)$.

Преобразуем выражение в скобках, чтобы явно выделить сдвиг: $y = \text{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$.

Шаг 1. Строим график функции $y_0 = \text{tg}(x)$. Это периодическая функция с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2. Строим график функции $y_1 = \text{tg}(2x)$. Этот график получается из графика $y_0 = \text{tg}(x)$ путем сжатия в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции уменьшается в 2 раза: $T = \frac{\pi}{2}$. Вертикальные асимптоты теперь задаются уравнениями $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3. Строим искомый график функции $y = \text{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$. Этот график получается из графика $y_1$ сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.

Свойства и ключевые точки итоговой функции:

• Область определения: $2x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies 2x \neq \frac{5\pi}{6} + k\pi \implies x \neq \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Период: $T = \frac{\pi}{2}$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $2x - \frac{\pi}{3} = k\pi \implies 2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Найдем несколько точек для построения одной ветви, например, на интервале $(-\frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12})$:
– Центр симметрии ветви (нуль функции): $x = \frac{\pi}{6}$. Точка $(\frac{\pi}{6}; 0)$.
– Точка, где значение функции равно 1: $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} \implies 2x = \frac{7\pi}{12} \implies x = \frac{7\pi}{24}$. Точка $(\frac{7\pi}{24}; 1)$.
– Точка, где значение функции равно -1: $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} \implies 2x = \frac{\pi}{12} \implies x = \frac{\pi}{24}$. Точка $(\frac{\pi}{24}; -1)$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y=\text{tg}(x)$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза и сдвига вправо на $\frac{\pi}{6}$. Асимптоты графика: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$. Период $T=\frac{\pi}{2}$.