Номер 22.10, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.10. Постройте график уравнения:

1) $\tan x \tan y = 0$;

2) $\tan^2 x + \tan^2 y = 0$.

1) $\tg x \cdot \tg y = 0$

Область определения уравнения (ОДЗ) задаётся условиями $\cos x \neq 0$ и $\cos y \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $n$ и $m$ — любые целые числа ($n, m \in \mathbb{Z}$).

Произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю, а другое при этом имеет смысл. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\left[ \begin{array}{l} \tg x = 0 \\ \tg y = 0 \end{array} \right.$

Решим каждое уравнение по отдельности:

1. Уравнение $\tg x = 0$ имеет решения $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти решения представляют собой семейство вертикальных прямых на координатной плоскости.

2. Уравнение $\tg y = 0$ имеет решения $y = \pi l$, где $l \in \mathbb{Z}$. Эти решения представляют собой семейство горизонтальных прямых.

Графиком исходного уравнения является объединение графиков этих двух семейств прямых. Все эти прямые входят в область определения, так как для $x = \pi k$ значение $\cos x$ не равно нулю, и для $y = \pi l$ значение $\cos y$ не равно нулю.

Ответ: Графиком уравнения является совокупность всех прямых вида $x = \pi k$ и $y = \pi l$, где $k, l \in \mathbb{Z}$. Это бесконечная сетка, состоящая из вертикальных и горизонтальных линий.

2) $\tg^2 x + \tg^2 y = 0$

Область определения уравнения (ОДЗ) та же, что и в предыдущем пункте: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

Выражения $\tg^2 x$ и $\tg^2 y$ являются неотрицательными, то есть $\tg^2 x \ge 0$ и $\tg^2 y \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \tg^2 x = 0 \\ \tg^2 y = 0 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} \tg x = 0 \\ \tg y = 0 \end{array} \right.$

Решаем эту систему:

Из уравнения $\tg x = 0$ получаем $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения $\tg y = 0$ получаем $y = \pi l$, где $l \in \mathbb{Z}$.

Поскольку это система, оба условия должны выполняться одновременно. Таким образом, решениями являются все точки $(x, y)$ на координатной плоскости, координаты которых имеют вид $(\pi k, \pi l)$, где $k$ и $l$ — любые целые числа.

Ответ: Графиком уравнения является множество точек с координатами $(\pi k, \pi l)$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $l \in \mathbb{Z}$. Эти точки являются узлами бесконечной сетки.