Номер 23.5, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.5. Докажите тождество:

1) $\frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \cos \alpha - \sin \alpha;$

2) $\frac{\sqrt{3} - 2\sin \alpha}{2\cos \alpha - 1} = \frac{1 + 2\cos \alpha}{2\sin \alpha + \sqrt{3}};$

3) $\frac{\sin \alpha + \operatorname{tg} \alpha}{1 + \cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha;$

4) $\frac{\sin^2 \alpha}{\operatorname{ctg}^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \operatorname{tg}^4 \alpha.$

1)

Докажем тождество, преобразовав его левую часть. Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для числителя:

$\frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ в числителе:

$\frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)((\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + \cos \alpha \sin \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha}$

Сократим дробь на общий множитель $(1 + \sin \alpha \cos \alpha)$:

$\cos \alpha - \sin \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Докажем тождество, используя свойство пропорции (перекрестное умножение). Нам нужно доказать, что:

$(\sqrt{3} - 2\sin \alpha)(2\sin \alpha + \sqrt{3}) = (2\cos \alpha - 1)(1 + 2\cos \alpha)$

Преобразуем левую и правую части, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

Левая часть: $(\sqrt{3} - 2\sin \alpha)(\sqrt{3} + 2\sin \alpha) = (\sqrt{3})^2 - (2\sin \alpha)^2 = 3 - 4\sin^2 \alpha$

Правая часть: $(2\cos \alpha - 1)(2\cos \alpha + 1) = (2\cos \alpha)^2 - 1^2 = 4\cos^2 \alpha - 1$

Теперь докажем, что $3 - 4\sin^2 \alpha = 4\cos^2 \alpha - 1$. Преобразуем правую часть, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$:

$4(1 - \sin^2 \alpha) - 1 = 4 - 4\sin^2 \alpha - 1 = 3 - 4\sin^2 \alpha$

Получили, что $3 - 4\sin^2 \alpha = 3 - 4\sin^2 \alpha$. Равенство верно, следовательно, исходное тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Преобразуем левую часть равенства. Заменим $\tg \alpha$ на $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:

$\frac{\sin \alpha + \tg \alpha}{1 + \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \cos \alpha}$

Приведем к общему знаменателю в числителе и вынесем общий множитель $\sin \alpha$ за скобки:

$\frac{\frac{\sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}}{1 + \cos \alpha} = \frac{\frac{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}{\cos \alpha}}{1 + \cos \alpha}$

Сократим дробь на $(1 + \cos \alpha)$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tg \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть равенства. Заменим $\ctg^2 \alpha$ на $\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}$:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\ctg^2 \alpha - \cos^2 \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \cos^2 \alpha}$

Приведем к общему знаменателю в знаменателе дроби и вынесем общий множитель $\cos^2 \alpha$ за скобки:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha - \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha}}$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = \frac{\sin^2 \alpha}{\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}$

Преобразуем многоэтажную дробь:

$\sin^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^4 \alpha} = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^4 \alpha} = (\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha})^4 = \tg^4 \alpha$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.