Номер 23.8, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.8. Докажите тождество

$2(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) - 3(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha) = -1.$

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и формулы сокращенного умножения.

Обозначим левую часть выражения как $L$:

$L = 2(\sin^6\alpha + \cos^6\alpha) - 3(\sin^4\alpha + \cos^4\alpha)$

1. Упростим выражение $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, возведя его в квадрат:

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^2 = 1^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sin^2\alpha)^2 + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2 = 1$

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha + 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1$

Отсюда выразим искомую сумму:

$\sin^4\alpha + \cos^4\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

2. Упростим выражение $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha$

Представим это выражение как сумму кубов $(\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3$ и применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)((\sin^2\alpha)^2 - \sin^2\alpha\cos^2\alpha + (\cos^2\alpha)^2)$

Поскольку $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1 \cdot (\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^2\alpha\cos^2\alpha)$

Теперь подставим сюда выражение для $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha$, полученное в первом шаге:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = (1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - \sin^2\alpha\cos^2\alpha$

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha = 1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

3. Подставим упрощенные выражения в исходное тождество

Теперь вернемся к исходному выражению $L$ и подставим в него найденные упрощенные формы:

$L = 2(1 - 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha) - 3(1 - 2\sin^2\alpha\cos^2\alpha)$

Раскроем скобки:

$L = 2 \cdot 1 - 2 \cdot 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 3 \cdot 1 - 3 \cdot (-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha)$

$L = 2 - 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 3 + 6\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Приведем подобные слагаемые. Члены $-6\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ и $+6\sin^2\alpha\cos^2\alpha$ взаимно уничтожаются:

$L = 2 - 3 = -1$

Таким образом, мы показали, что левая часть тождества равна -1, что соответствует правой части. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано, так как в результате преобразования левой части было получено значение -1.