Номер 23.13, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.13. Дано: $\sin \alpha + \cos \alpha = b$. Найдите:

1) $\sin \alpha \cos \alpha$;

2) $\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha$;

3) $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha$.

1) sinαcosα

Для нахождения произведения $sin\alpha cos\alpha$ возведем в квадрат исходное равенство $sin\alpha + cos\alpha = b$:

$(sin\alpha + cos\alpha)^2 = b^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$sin^2\alpha + 2sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha = b^2$

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$(sin^2\alpha + cos^2\alpha) + 2sin\alpha cos\alpha = b^2$

$1 + 2sin\alpha cos\alpha = b^2$

Теперь выразим искомое произведение $sin\alpha cos\alpha$:

$2sin\alpha cos\alpha = b^2 - 1$

$sin\alpha cos\alpha = \frac{b^2 - 1}{2}$

Ответ: $\frac{b^2 - 1}{2}$

2) sin³α + cos³α

Для нахождения суммы кубов воспользуемся формулой сокращенного умножения $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$:

$sin^3\alpha + cos^3\alpha = (sin\alpha + cos\alpha)(sin^2\alpha - sin\alpha cos\alpha + cos^2\alpha)$

Перегруппируем слагаемые во второй скобке:

$sin^3\alpha + cos^3\alpha = (sin\alpha + cos\alpha)((sin^2\alpha + cos^2\alpha) - sin\alpha cos\alpha)$

Из условия задачи мы знаем, что $sin\alpha + cos\alpha = b$. Из основного тригонометрического тождества известно, что $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$. Из предыдущего пункта мы нашли, что $sin\alpha cos\alpha = \frac{b^2 - 1}{2}$. Подставим эти значения в выражение:

$sin^3\alpha + cos^3\alpha = b(1 - \frac{b^2 - 1}{2})$

Упростим выражение в скобках:

$b(1 - \frac{b^2 - 1}{2}) = b(\frac{2}{2} - \frac{b^2 - 1}{2}) = b(\frac{2 - (b^2 - 1)}{2}) = b(\frac{2 - b^2 + 1}{2}) = b(\frac{3 - b^2}{2})$

Таким образом, получаем:

$sin^3\alpha + cos^3\alpha = \frac{b(3 - b^2)}{2}$

Ответ: $\frac{b(3 - b^2)}{2}$

3) sin⁶α + cos⁶α

Представим искомое выражение как сумму кубов, где основаниями являются квадраты синуса и косинуса:

$sin^6\alpha + cos^6\alpha = (sin^2\alpha)^3 + (cos^2\alpha)^3$

Снова применим формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, где $a = sin^2\alpha$ и $b = cos^2\alpha$:

$(sin^2\alpha + cos^2\alpha)((sin^2\alpha)^2 - sin^2\alpha cos^2\alpha + (cos^2\alpha)^2)$

Первая скобка равна 1, поэтому выражение упрощается до:

$1 \cdot (sin^4\alpha + cos^4\alpha - sin^2\alpha cos^2\alpha)$

Чтобы найти $sin^4\alpha + cos^4\alpha$, возведем в квадрат основное тригонометрическое тождество $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$:

$(sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2 = 1^2$

$sin^4\alpha + 2sin^2\alpha cos^2\alpha + cos^4\alpha = 1$

Отсюда выразим сумму четвертых степеней:

$sin^4\alpha + cos^4\alpha = 1 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha$

Подставим это в наше выражение для суммы шестых степеней:

$sin^6\alpha + cos^6\alpha = (1 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha) - sin^2\alpha cos^2\alpha = 1 - 3sin^2\alpha cos^2\alpha$

Теперь подставим значение $sin\alpha cos\alpha = \frac{b^2 - 1}{2}$ из первого пункта:

$1 - 3(sin\alpha cos\alpha)^2 = 1 - 3(\frac{b^2 - 1}{2})^2 = 1 - 3\frac{(b^2-1)^2}{4}$

Раскроем скобки и приведем к общему знаменателю:

$1 - \frac{3(b^4 - 2b^2 + 1)}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3b^4 - 6b^2 + 3}{4} = \frac{4 - 3b^4 + 6b^2 - 3}{4} = \frac{-3b^4 + 6b^2 + 1}{4}$

Ответ: $\frac{-3b^4 + 6b^2 + 1}{4}$