Номер 23.15, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.15. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $2\cos^2\alpha - 3\sin\alpha;$

2) $\operatorname{tg}^2\alpha + \frac{1}{\cos\alpha};$

3) $1 - \sqrt{\cos^2\alpha - 2\sin^2\alpha;}$

4) $3\cos^2\alpha - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha.$

1) $2\cos^2\alpha - 3\sin\alpha$

Преобразуем выражение, используя основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$.

$2\cos^2\alpha - 3\sin\alpha = 2(1 - \sin^2\alpha) - 3\sin\alpha = 2 - 2\sin^2\alpha - 3\sin\alpha$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin\alpha$. Поскольку область значений синуса $[-1, 1]$, то $-1 \le t \le 1$.

Получим квадратичную функцию $f(t) = -2t^2 - 3t + 2$, для которой нужно найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-1, 1]$.

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $t^2$ отрицательный). Следовательно, наибольшее значение функция принимает в вершине параболы, если абсцисса вершины принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

Абсцисса вершины параболы $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(-2)} = -\frac{3}{4}$.

Поскольку $t_v = -3/4$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, наибольшее значение функции равно значению в этой точке:

$f_{наиб.} = f(-\frac{3}{4}) = -2(-\frac{3}{4})^2 - 3(-\frac{3}{4}) + 2 = -2(\frac{9}{16}) + \frac{9}{4} + 2 = -\frac{9}{8} + \frac{18}{8} + \frac{16}{8} = \frac{25}{8}$.

Наименьшее значение функция принимает на одном из концов отрезка. Найдем значения функции в точках $t=-1$ и $t=1$.

$f(-1) = -2(-1)^2 - 3(-1) + 2 = -2 + 3 + 2 = 3$.

$f(1) = -2(1)^2 - 3(1) + 2 = -2 - 3 + 2 = -3$.

Сравнивая эти значения, находим наименьшее: $f_{наим.} = -3$.

Ответ: наибольшее значение равно $\frac{25}{8}$, наименьшее значение равно $-3$.

2) $\tg^2\alpha + \frac{1}{\cos\alpha}$

Область определения выражения задается условием $\cos\alpha \neq 0$.

Используем тождество $\tg^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1$.

Подставим это в исходное выражение: $\frac{1}{\cos^2\alpha} - 1 + \frac{1}{\cos\alpha}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \frac{1}{\cos\alpha}$. Поскольку $\cos\alpha \in [-1, 0) \cup (0, 1]$, то $t \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

Выражение принимает вид квадратичной функции $f(t) = t^2 + t - 1$.

График этой функции — парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение парабола принимает в своей вершине.

Абсцисса вершины $t_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2(1)} = -1/2$.

Эта точка не входит в область допустимых значений переменной $t$.

Рассмотрим поведение функции на двух промежутках: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$.

На промежутке $[1, \infty)$ функция $f(t)$ возрастает (так как $1 > t_v$). Следовательно, наименьшее значение на этом промежутке достигается в точке $t=1$: $f(1) = 1^2 + 1 - 1 = 1$.

На промежутке $(-\infty, -1]$ функция $f(t)$ убывает (так как $-1 < t_v$). Следовательно, наименьшее значение на этом промежутке достигается в точке $t=-1$: $f(-1) = (-1)^2 + (-1) - 1 = 1 - 1 - 1 = -1$.

Сравнивая значения на границах области определения, находим, что наименьшее значение всего выражения равно $-1$.

Поскольку на обоих промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$ функция неограниченно возрастает, наибольшего значения у выражения не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $-1$, наибольшего значения не существует.

3) $1 - \sqrt{\cos^2\alpha - 2\sin^2\alpha}$

Для того чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\cos^2\alpha - 2\sin^2\alpha \ge 0$.

Преобразуем подкоренное выражение, используя тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$\cos^2\alpha - 2(1 - \cos^2\alpha) = \cos^2\alpha - 2 + 2\cos^2\alpha = 3\cos^2\alpha - 2$.

Таким образом, условие существования выражения принимает вид $3\cos^2\alpha - 2 \ge 0$, откуда $\cos^2\alpha \ge \frac{2}{3}$.

Сделаем замену $u = \cos^2\alpha$. Учитывая, что $0 \le \cos^2\alpha \le 1$ и $\cos^2\alpha \ge \frac{2}{3}$, получаем, что $u \in [\frac{2}{3}, 1]$.

Исходное выражение можно записать как функцию от $u$: $f(u) = 1 - \sqrt{3u - 2}$.

Функция $g(u) = \sqrt{3u - 2}$ является возрастающей на своей области определения. Следовательно, функция $f(u) = 1 - g(u)$ является убывающей.

Значит, свое наибольшее значение она принимает при наименьшем значении аргумента $u = \frac{2}{3}$:

$f_{наиб.} = f(\frac{2}{3}) = 1 - \sqrt{3 \cdot \frac{2}{3} - 2} = 1 - \sqrt{2 - 2} = 1 - 0 = 1$.

А свое наименьшее значение она принимает при наибольшем значении аргумента $u = 1$:

$f_{наим.} = f(1) = 1 - \sqrt{3 \cdot 1 - 2} = 1 - \sqrt{1} = 1 - 1 = 0$.

Ответ: наибольшее значение равно $1$, наименьшее значение равно $0$.

4) $3\cos^2\alpha - \tg\alpha \ctg\alpha$

Область определения выражения требует, чтобы были определены $\tg\alpha$ и $\ctg\alpha$. Это означает, что $\cos\alpha \neq 0$ и $\sin\alpha \neq 0$.

На этой области определения справедливо тождество $\tg\alpha \cdot \ctg\alpha = 1$.

Таким образом, выражение упрощается до $3\cos^2\alpha - 1$.

Мы должны найти множество значений этого выражения при условиях $\cos\alpha \neq 0$ и $\sin\alpha \neq 0$.

Условие $\sin\alpha \neq 0$ эквивалентно $\sin^2\alpha \neq 0$, то есть $1 - \cos^2\alpha \neq 0$, откуда $\cos^2\alpha \neq 1$.

Условие $\cos\alpha \neq 0$ эквивалентно $\cos^2\alpha \neq 0$.

Таким образом, $\cos^2\alpha$ может принимать любые значения из интервала $(0, 1)$.

Пусть $x = \cos^2\alpha$, тогда $x \in (0, 1)$. Нам нужно найти множество значений функции $f(x) = 3x - 1$ на интервале $(0, 1)$.

Так как $f(x)$ — возрастающая линейная функция, ее значения на интервале $(0, 1)$ будут заключены в интервале $(f(0), f(1))$.

$f(0) = 3(0) - 1 = -1$.

$f(1) = 3(1) - 1 = 2$.

Следовательно, множество значений нашего выражения — это интервал $(-1, 2)$.

На открытом интервале функция не достигает своих граничных значений, то есть точной верхней грани (супремума) и точной нижней грани (инфимума). Поэтому наибольшего и наименьшего значений у выражения не существует.

Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.