Номер 23.14, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.14. Дано: $\mathrm{tg}\,\alpha + \mathrm{ctg}\,\alpha = b$. Найдите:

1) $\mathrm{tg}^2\alpha + \mathrm{ctg}^2\alpha$;

2) $\mathrm{tg}^3\alpha + \mathrm{ctg}^3\alpha$;

3) $(\cos\alpha + \sin\alpha)^2$.

Дано: $tg\,\alpha + ctg\,\alpha = b$.

Возведем обе части исходного равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(tg\,\alpha + ctg\,\alpha)^2 = b^2$
$tg^2\alpha + 2 \cdot tg\,\alpha \cdot ctg\,\alpha + ctg^2\alpha = b^2$
Мы знаем, что произведение тангенса и котангенса одного и того же угла равно единице: $tg\,\alpha \cdot ctg\,\alpha = 1$. Подставим это значение в уравнение:
$tg^2\alpha + 2 \cdot 1 + ctg^2\alpha = b^2$
$tg^2\alpha + ctg^2\alpha + 2 = b^2$
Выразим искомую сумму квадратов:
$tg^2\alpha + ctg^2\alpha = b^2 - 2$

Ответ: $b^2 - 2$

Для нахождения суммы кубов возведем исходное равенство в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:
$(tg\,\alpha + ctg\,\alpha)^3 = b^3$
$tg^3\alpha + ctg^3\alpha + 3 \cdot tg\,\alpha \cdot ctg\,\alpha \cdot (tg\,\alpha + ctg\,\alpha) = b^3$
Подставим известные нам значения из условия: $tg\,\alpha + ctg\,\alpha = b$ и $tg\,\alpha \cdot ctg\,\alpha = 1$.
$tg^3\alpha + ctg^3\alpha + 3 \cdot 1 \cdot b = b^3$
Выразим искомую сумму кубов:
$tg^3\alpha + ctg^3\alpha = b^3 - 3b$

Ответ: $b^3 - 3b$

Сначала преобразуем данное в условии выражение $tg\,\alpha + ctg\,\alpha = b$, представив тангенс и котангенс через синус и косинус:
$tg\,\alpha + ctg\,\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = b$
Приведем дроби к общему знаменателю $\sin\alpha \cos\alpha$ :
$\frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha} = b$
Применив основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получим:
$\frac{1}{\sin\alpha \cos\alpha} = b$
Отсюда можем выразить произведение синуса на косинус:
$\sin\alpha \cos\alpha = \frac{1}{b}$
Теперь вернемся к выражению, которое нужно найти, и раскроем скобки по формуле квадрата суммы:
$(\cos\alpha + \sin\alpha)^2 = \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha$
Сгруппируем первое и третье слагаемые:
$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + 2\sin\alpha\cos\alpha$
Используя основное тригонометрическое тождество и найденное ранее выражение для $\sin\alpha \cos\alpha$, подставим значения:
$1 + 2 \cdot \frac{1}{b} = 1 + \frac{2}{b}$

Ответ: $1 + \frac{2}{b}$