Номер 23.16, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.16. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения:

1) $3\sin^2\alpha + 2\cos\alpha$;

2) $1 + \sqrt{\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}$;

3) $2\sin^2\alpha + 3\operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha$.

1) $3\sin^2\alpha + 2\cos\alpha$

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения выражения, приведем его к функции от одной переменной. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$.

Подставим это в исходное выражение:

$3(1 - \cos^2\alpha) + 2\cos\alpha = 3 - 3\cos^2\alpha + 2\cos\alpha$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos\alpha$. Поскольку область значений косинуса — это отрезок $[-1, 1]$, то и для переменной $t$ справедливо $-1 \le t \le 1$.

Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции $f(t) = -3t^2 + 2t + 3$ на отрезке $[-1, 1]$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (так как коэффициент при $t^2$ равен -3, что меньше нуля). Свое наибольшее значение на отрезке функция может достигать либо в вершине параболы (если она попадает в этот отрезок), либо на концах отрезка. Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка.

Найдем координату вершины параболы по формуле $t_v = -b/(2a)$:

$t_v = \frac{-2}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$.

Так как точка $t_v = 1/3$ принадлежит отрезку $[-1, 1]$, то наибольшее значение функции достигается именно в вершине.

$y_{наиб} = f(\frac{1}{3}) = -3(\frac{1}{3})^2 + 2(\frac{1}{3}) + 3 = -3 \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} + 3 = -\frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 3 = \frac{1}{3} + 3 = 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.

Чтобы найти наименьшее значение, вычислим значения функции на концах отрезка $[-1, 1]$:

$f(-1) = -3(-1)^2 + 2(-1) + 3 = -3 - 2 + 3 = -2$.

$f(1) = -3(1)^2 + 2(1) + 3 = -3 + 2 + 3 = 2$.

Сравнивая полученные значения, видим, что наименьшее значение равно -2.

Ответ: наибольшее значение равно $\frac{10}{3}$, наименьшее значение равно -2.

2) $1 + \sqrt{\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha}$

Сначала упростим выражение, стоящее под знаком корня:

$\sin^2\alpha + 2\cos^2\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \cos^2\alpha$.

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, получаем:

$1 + \cos^2\alpha$.

Теперь исходное выражение имеет вид: $1 + \sqrt{1 + \cos^2\alpha}$.

Значение этого выражения зависит от значения $\cos^2\alpha$. Найдем область значений $\cos^2\alpha$.

Мы знаем, что $-1 \le \cos\alpha \le 1$. При возведении в квадрат значения из этого отрезка дадут результат в отрезке $[0, 1]$. Таким образом, $0 \le \cos^2\alpha \le 1$.

Теперь найдем наименьшее и наибольшее значения выражения $1 + \cos^2\alpha$:

Наименьшее значение: $1 + 0 = 1$ (когда $\cos^2\alpha = 0$).

Наибольшее значение: $1 + 1 = 2$ (когда $\cos^2\alpha = 1$).

Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений всего выражения нужно подставить наименьшее и наибольшее значения подкоренного выражения.

Наименьшее значение выражения: $1 + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2$.

Наибольшее значение выражения: $1 + \sqrt{2}$.

Ответ: наибольшее значение равно $1 + \sqrt{2}$, наименьшее значение равно 2.

3) $2\sin^2\alpha + 3\tan\alpha \cot\alpha$

Рассмотрим область допустимых значений (ОДЗ) для данного выражения. Функция $\tan\alpha$ определена при $\cos\alpha \neq 0$, а функция $\cot\alpha$ определена при $\sin\alpha \neq 0$.

Следовательно, выражение имеет смысл, если одновременно $\sin\alpha \neq 0$ и $\cos\alpha \neq 0$. Это эквивалентно условию $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ - любое целое число.

На этой области определения справедливо тождество $\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$.

Тогда исходное выражение можно упростить до вида $2\sin^2\alpha + 3$.

Теперь найдем, какие значения может принимать $\sin^2\alpha$ с учетом ОДЗ.

Из условия $\sin\alpha \neq 0$ следует, что $\sin^2\alpha \neq 0$.

Из условия $\cos\alpha \neq 0$ следует, что $\cos^2\alpha \neq 0$. Так как $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$, то $\sin^2\alpha \neq 1 - 0 = 1$.

Таким образом, для $\sin^2\alpha$ выполняются строгие неравенства $0 < \sin^2\alpha < 1$.

Теперь найдем множество значений выражения $y = 2\sin^2\alpha + 3$.

Умножим неравенство $0 < \sin^2\alpha < 1$ на 2:

$0 < 2\sin^2\alpha < 2$.

Прибавим 3 ко всем частям неравенства:

$3 < 2\sin^2\alpha + 3 < 5$.

Множеством значений исходного выражения является интервал $(3, 5)$. Это означает, что значения выражения могут быть сколь угодно близки к 3 (снизу) и к 5 (сверху), но никогда не достигают этих значений. Наименьшего и наибольшего элементов в открытом интервале нет.

Ответ: наибольшего и наименьшего значений не существует.