Номер 23.17, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.17. Постройте график функции:

1) $y = \sin^2 \sqrt{1 - x^2} + \cos^2 \sqrt{1 - x^2}$;

2) $y = \operatorname{tg}^2 x - \frac{1}{\cos^2 x}$.

1) Дана функция $y = \sin^2\sqrt{1 - x^2} + \cos^2\sqrt{1 - x^2}$.

Для упрощения этого выражения воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. В данном случае в качестве $\alpha$ выступает выражение $\sqrt{1 - x^2}$.

Таким образом, при любом значении $x$, для которого выражение определено, функция принимает значение $y = 1$.

Теперь найдем область определения функции. Аргумент синуса и косинуса содержит квадратный корень, а выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$1 - x^2 \ge 0$

Решим это неравенство:

$x^2 \le 1$

$-1 \le x \le 1$

Следовательно, область определения функции — это отрезок $[-1, 1]$.

Графиком функции является часть прямой $y=1$, соответствующая области определения, то есть отрезок, соединяющий точки с координатами $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.

Ответ: Графиком функции является отрезок прямой $y=1$, концы которого находятся в точках $(-1; 1)$ и $(1; 1)$.

2) Дана функция $y = \text{tg}^2x - \frac{1}{\cos^2x}$.

Сначала найдем область определения функции. Функция $\text{tg}x$ определена, когда $\cos x \ne 0$. Знаменатель дроби $\frac{1}{\cos^2x}$ также не должен обращаться в ноль, что дает то же самое условие: $\cos^2x \ne 0$, или $\cos x \ne 0$.

Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, область определения функции: все действительные числа, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь упростим выражение для функции, используя тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2x = \frac{1}{\cos^2x}$.

Подставим его в исходную функцию:

$y = \text{tg}^2x - (1 + \text{tg}^2x)$

$y = \text{tg}^2x - 1 - \text{tg}^2x$

$y = -1$

Таким образом, для всех $x$ из области определения значение функции равно -1.

Графиком функции является прямая $y=-1$, из которой удалены точки, абсциссы которых не входят в область определения. Эти точки имеют координаты $(\frac{\pi}{2} + \pi k; -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$. Такие точки называют "выколотыми".

Ответ: Графиком функции является прямая $y=-1$ с выколотыми точками вида $(\frac{\pi}{2} + \pi k; -1)$, где $k \in \mathbb{Z}$.