Номер 24.2, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.2. Упростите выражение:

1) $ \cos 6\alpha \cos 2\alpha - \sin 6\alpha \sin 2\alpha $;

2) $ \sin (-15^\circ) \cos 75^\circ + \cos 15^\circ \sin 75^\circ $;

3) $ \frac{\cos 64^\circ \cos 4^\circ + \sin 64^\circ \sin 4^\circ}{\sin 19^\circ \cos 41^\circ + \sin 41^\circ \cos 19^\circ} $;

4) $ \cos (\alpha - \beta) - 2\sin \alpha \sin \beta $.

1) Данное выражение $cos 6\alpha cos 2\alpha - sin 6\alpha sin 2\alpha$ соответствует формуле косинуса суммы двух углов: $cos(x+y) = cos x cos y - sin x sin y$.

В нашем случае $x = 6\alpha$ и $y = 2\alpha$.

Применяя формулу, получаем:

$cos 6\alpha cos 2\alpha - sin 6\alpha sin 2\alpha = cos(6\alpha + 2\alpha) = cos(8\alpha)$

Ответ: $cos(8\alpha)$

2) Рассмотрим выражение $sin(-15^\circ)cos75^\circ + cos15^\circ sin75^\circ$.

Используем свойство нечетности функции синус: $sin(-x) = -sin(x)$. Таким образом, $sin(-15^\circ) = -sin(15^\circ)$.

Подставим это в исходное выражение:

$-sin15^\circ cos75^\circ + cos15^\circ sin75^\circ = sin75^\circ cos15^\circ - cos75^\circ sin15^\circ$

Это выражение соответствует формуле синуса разности двух углов: $sin(x-y) = sin x cos y - cos x sin y$.

Здесь $x = 75^\circ$ и $y = 15^\circ$.

$sin(75^\circ - 15^\circ) = sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

3) Упростим числитель и знаменатель дроби $\frac{cos64^\circ cos4^\circ + sin64^\circ sin4^\circ}{sin19^\circ cos41^\circ + sin41^\circ cos19^\circ}$ по отдельности.

Числитель $cos64^\circ cos4^\circ + sin64^\circ sin4^\circ$ соответствует формуле косинуса разности: $cos(x-y) = cos x cos y + sin x sin y$.

При $x=64^\circ$ и $y=4^\circ$, получаем $cos(64^\circ - 4^\circ) = cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$.

Знаменатель $sin19^\circ cos41^\circ + sin41^\circ cos19^\circ$ соответствует формуле синуса суммы: $sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y$.

При $x=19^\circ$ и $y=41^\circ$, получаем $sin(19^\circ + 41^\circ) = sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

4) Упростим выражение $cos(\alpha - \beta) - 2sin\alpha sin\beta$.

Раскроем $cos(\alpha - \beta)$ по формуле косинуса разности: $cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$.

Подставим это в исходное выражение:

$(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta) - 2sin\alpha sin\beta$

Приведем подобные слагаемые:

$cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta - 2sin\alpha sin\beta = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$

Полученное выражение является формулой косинуса суммы: $cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta = cos(\alpha + \beta)$.

Ответ: $cos(\alpha + \beta)$