Номер 24.5, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.5. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)} = \operatorname{tg} \alpha;$

2) $\frac{\sin \alpha + 2\sin(60^\circ - \alpha)}{2\cos(30^\circ - \alpha) - \sqrt{3}\cos \alpha} = \sqrt{3} \operatorname{ctg} \alpha.$

Преобразуем левую часть тождества $ \frac{\sin(45° + \alpha) - \cos(45° + \alpha)}{\sin(45° + \alpha) + \cos(45° + \alpha)} = \text{tg } \alpha $.
Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы:
$ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
А также значениями тригонометрических функций для угла 45°: $ \sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Раскроем синус и косинус в левой части:
$ \sin(45° + \alpha) = \sin 45° \cos \alpha + \cos 45° \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha) $
$ \cos(45° + \alpha) = \cos 45° \cos \alpha - \sin 45° \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha) $
Теперь подставим полученные выражения в числитель и знаменатель исходной дроби.
Преобразуем числитель:
$ \sin(45° + \alpha) - \cos(45° + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha - \cos \alpha + \sin \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2 \sin \alpha) = \sqrt{2} \sin \alpha $.
Преобразуем знаменатель:
$ \sin(45° + \alpha) + \cos(45° + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha - \sin \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2 \cos \alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha $.
В результате получим дробь:
$ \frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha $.
Таким образом, левая часть тождества равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

Преобразуем левую часть тождества $ \frac{\sin \alpha + 2 \sin(60° - \alpha)}{2 \cos(30° - \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} = \sqrt{3} \text{ ctg } \alpha $.
Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса разности:
$ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
Преобразуем числитель дроби, используя значения $ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos 60° = \frac{1}{2} $:
$ \sin \alpha + 2 \sin(60° - \alpha) = \sin \alpha + 2(\sin 60° \cos \alpha - \cos 60° \sin \alpha) = \sin \alpha + 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha) = \sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha $.
Преобразуем знаменатель дроби, используя значения $ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin 30° = \frac{1}{2} $:
$ 2 \cos(30° - \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha = 2(\cos 30° \cos \alpha + \sin 30° \sin \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha = \sin \alpha $.
Теперь составим дробь из преобразованных числителя и знаменателя:
$ \frac{\sqrt{3} \cos \alpha}{\sin \alpha} = \sqrt{3} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \sqrt{3} \text{ ctg } \alpha $.
Таким образом, левая часть тождества равна правой.
Ответ: Тождество доказано.