Номер 24.10, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.10. Найдите $\sin(\alpha - \beta)$, если $\sin \alpha = -\frac{15}{17}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ и $\cos \beta = \frac{7}{25}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$.

Для того чтобы найти $sin(\alpha - \beta)$, мы используем формулу синуса разности двух углов:

$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$

Из условия задачи нам известны значения $sin(\alpha)$ и $cos(\beta)$. Нам необходимо найти $cos(\alpha)$ и $sin(\beta)$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ и информацию о том, в каких четвертях лежат углы $\alpha$ и $\beta$.

1. Найдем $cos(\alpha)$

Нам дано, что $sin(\alpha) = -\frac{15}{17}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в третьей координатной четверти, где и синус, и косинус имеют отрицательные значения.

Из основного тригонометрического тождества:

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha)$

$cos^2(\alpha) = 1 - (-\frac{15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$

$cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17}$

Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, $cos(\alpha)$ должен быть отрицательным. Поэтому:

$cos(\alpha) = -\frac{8}{17}$

2. Найдем $sin(\beta)$

Нам дано, что $cos(\beta) = \frac{7}{25}$ и $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$. Это означает, что угол $\beta$ находится в четвертой координатной четверти, где косинус положителен, а синус отрицателен.

Из основного тригонометрического тождества:

$sin^2(\beta) = 1 - cos^2(\beta)$

$sin^2(\beta) = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$

$sin(\beta) = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$

Так как угол $\beta$ находится в четвертой четверти, $sin(\beta)$ должен быть отрицательным. Поэтому:

$sin(\beta) = -\frac{24}{25}$

3. Вычислим $sin(\alpha - \beta)$

Теперь подставим все известные значения в формулу синуса разности:

$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$

$sin(\alpha - \beta) = (-\frac{15}{17}) \cdot (\frac{7}{25}) - (-\frac{8}{17}) \cdot (-\frac{24}{25})$

Выполним умножение:

$sin(\alpha - \beta) = -\frac{15 \cdot 7}{17 \cdot 25} - \frac{8 \cdot 24}{17 \cdot 25}$

$sin(\alpha - \beta) = -\frac{105}{425} - \frac{192}{425}$

Теперь выполним вычитание:

$sin(\alpha - \beta) = \frac{-105 - 192}{425} = \frac{-297}{425}$

Ответ: $-\frac{297}{425}$.