Номер 24.9, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.9. Найдите $ \cos(\alpha + \beta) $, если $ \cos \alpha = \frac{3}{5} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ и $ \cos \beta = -\frac{4}{5} $, $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $.

Для того чтобы найти $ \cos(\alpha + \beta) $, воспользуемся формулой косинуса суммы:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $

По условию нам даны значения $ \cos \alpha $ и $ \cos \beta $. Нам необходимо найти значения $ \sin \alpha $ и $ \sin \beta $.

1. Найдем $ \sin \alpha $.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $

Подставим известное значение $ \cos \alpha = \frac{3}{5} $:

$ \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} $

$ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $

Согласно условию, угол $ \alpha $ находится в диапазоне $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, что соответствует I координатной четверти. В этой четверти синус имеет положительное значение, следовательно:

$ \sin \alpha = \frac{4}{5} $

2. Найдем $ \sin \beta $.

Аналогично используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 $.

$ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta $

Подставим известное значение $ \cos \beta = -\frac{4}{5} $:

$ \sin^2 \beta = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} $

$ \sin \beta = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $

Согласно условию, угол $ \beta $ находится в диапазоне $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $, что соответствует II координатной четверти. В этой четверти синус имеет положительное значение, следовательно:

$ \sin \beta = \frac{3}{5} $

3. Теперь подставим все найденные значения в формулу косинуса суммы:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{4}{5}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} $

$ \cos(\alpha + \beta) = -\frac{12}{25} - \frac{12}{25} = -\frac{24}{25} $

Ответ: $ -\frac{24}{25} $