Номер 24.13, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.13. Докажите тождество:

1) $\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$;

2) $\text{ctg} \alpha + \text{tg} \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \beta}$.

1)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся определениями тангенса: $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $tg \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$.

$tg \alpha - tg \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos \alpha \cos \beta$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$

Числитель полученной дроби представляет собой формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Подставим эту формулу в наше выражение:

$\frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$

Мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $tg \alpha - tg \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Используем определения котангенса $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ и тангенса $tg \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$.

$ctg \alpha + tg \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin \alpha \cos \beta$:

$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta}$

Числитель полученной дроби представляет собой формулу косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Подставим эту формулу в наше выражение:

$\frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta} = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \beta}$

Мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $ctg \alpha + tg \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \beta}$.