Номер 24.6, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.6. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin\beta \cos\alpha}{\sin(\alpha - \beta) + \sin\beta \cos\alpha} = 1;$

2) $\frac{\sqrt{2} \cos\alpha - 2\sin(45^{\circ} - \alpha)}{2\sin(60^{\circ} + \alpha) - \sqrt{3} \cos\alpha} = \sqrt{2}.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулы синуса суммы и синуса разности:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

Подставим эти формулы в выражение.

Преобразуем числитель дроби:

$ \sin(\alpha + \beta) - \sin\beta\cos\alpha = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) - \sin\beta\cos\alpha = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta - \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta $

Преобразуем знаменатель дроби:

$ \sin(\alpha - \beta) + \sin\beta\cos\alpha = (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) + \sin\beta\cos\alpha = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta $

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\cos\beta} = 1 $

Так как левая часть равна правой ($1 = 1$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Рассмотрим числитель и знаменатель по отдельности.

Сначала преобразуем числитель: $ \sqrt{2}\cos\alpha - 2\sin(45^\circ - \alpha) $. Для этого используем формулу синуса разности $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ и значения тригонометрических функций для угла $45^\circ$ ($ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $).

$ \sin(45^\circ - \alpha) = \sin 45^\circ \cos\alpha - \cos 45^\circ \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $

Подставим это в выражение для числителя:

$ \sqrt{2}\cos\alpha - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right) = \sqrt{2}\cos\alpha - (\sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha $

Теперь преобразуем знаменатель: $ 2\sin(60^\circ + \alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha $. Для этого используем формулу синуса суммы $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ и значения тригонометрических функций для угла $60^\circ$ ($ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $).

$ \sin(60^\circ + \alpha) = \sin 60^\circ \cos\alpha + \cos 60^\circ \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha $

Подставим это в выражение для знаменателя:

$ 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha\right) - \sqrt{3}\cos\alpha = (\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha = \sin\alpha $

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sin\alpha} = \sqrt{2} $

Так как левая часть равна правой ($ \sqrt{2} = \sqrt{2} $), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.