Номер 24.4, страница 177 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.4. Упростите выражение:

1) $\frac{\operatorname{tg} 24^{\circ}+\operatorname{tg} 36^{\circ}}{1-\operatorname{tg} 24^{\circ} \operatorname{tg} 36^{\circ}}$

2) $\frac{\operatorname{tg} 5 \alpha-\operatorname{tg} 3 \alpha}{1+\operatorname{tg} 5 \alpha \operatorname{tg} 3 \alpha}$

1) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:
$\operatorname{tg}(A + B) = \frac{\operatorname{tg}A + \operatorname{tg}B}{1 - \operatorname{tg}A \operatorname{tg}B}$.
Выражение $\frac{\operatorname{tg}24^{\circ} + \operatorname{tg}36^{\circ}}{1 - \operatorname{tg}24^{\circ} \operatorname{tg}36^{\circ}}$ соответствует правой части этой формулы, где $A = 24^{\circ}$ и $B = 36^{\circ}$.
Следовательно, мы можем "свернуть" выражение по этой формуле:
$\frac{\operatorname{tg}24^{\circ} + \operatorname{tg}36^{\circ}}{1 - \operatorname{tg}24^{\circ} \operatorname{tg}36^{\circ}} = \operatorname{tg}(24^{\circ} + 36^{\circ})$.
Вычислим сумму углов:
$24^{\circ} + 36^{\circ} = 60^{\circ}$.
Таким образом, исходное выражение равно $\operatorname{tg}(60^{\circ})$.
Это табличное значение: $\operatorname{tg}(60^{\circ}) = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

2) Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:
$\operatorname{tg}(A - B) = \frac{\operatorname{tg}A - \operatorname{tg}B}{1 + \operatorname{tg}A \operatorname{tg}B}$.
Выражение $\frac{\operatorname{tg}5\alpha - \operatorname{tg}3\alpha}{1 + \operatorname{tg}5\alpha \operatorname{tg}3\alpha}$ соответствует правой части этой формулы, где $A = 5\alpha$ и $B = 3\alpha$.
Применим формулу для упрощения:
$\frac{\operatorname{tg}5\alpha - \operatorname{tg}3\alpha}{1 + \operatorname{tg}5\alpha \operatorname{tg}3\alpha} = \operatorname{tg}(5\alpha - 3\alpha)$.
Выполним вычитание в скобках:
$5\alpha - 3\alpha = 2\alpha$.
Следовательно, итоговое упрощенное выражение равно $\operatorname{tg}(2\alpha)$.
Ответ: $\operatorname{tg}(2\alpha)$.