Номер 23.18, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.18. Постройте график функции $y = \frac{1}{\sin^2 x} - \operatorname{ctg}^2 x$.

Для построения графика функции $y = \frac{1}{\sin^2 x} - \operatorname{ctg}^2 x$ необходимо выполнить два основных шага: упростить выражение и определить область его определения.

1. Упрощение выражения функции.

Воспользуемся определением котангенса: $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Тогда $\operatorname{ctg}^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$y = \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1 - \cos^2 x}{\sin^2 x}$

Теперь применим основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, из которого следует, что $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$.

Заменим числитель в нашем выражении:

$y = \frac{\sin^2 x}{\sin^2 x}$

После сокращения, при условии, что знаменатель не равен нулю, получаем:

$y = 1$

2. Определение области допустимых значений (ОДЗ).

Упрощение было верным при условии, что знаменатель $\sin^2 x$ не равен нулю. Рассмотрим исходную функцию $y = \frac{1}{\sin^2 x} - \operatorname{ctg}^2 x$.

Она определена, если выполнены условия:

а) Знаменатель дроби $\frac{1}{\sin^2 x}$ не равен нулю: $\sin^2 x \neq 0$, что эквивалентно $\sin x \neq 0$.

б) Котангенс $\operatorname{ctg} x$ существует, что также требует $\sin x \neq 0$.

Условие $\sin x \neq 0$ выполняется для всех $x$, кроме тех, для которых $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Таким образом, область определения функции: $x \neq \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3. Построение графика.

Из упрощения мы получили, что $y=1$. Однако это равенство справедливо только для $x$ из области определения.

Следовательно, график функции — это горизонтальная прямая $y=1$, из которой исключены ("выколоты") точки, абсциссы которых не принадлежат области определения.

Координаты этих выколотых точек: $(\pi n, 1)$ для всех целых $n$.

Например, это точки ..., $(-\pi, 1)$, $(0, 1)$, $(\pi, 1)$, $(2\pi, 1)$, ...

Ответ: Графиком функции $y = \frac{1}{\sin^2 x} - \operatorname{ctg}^2 x$ является прямая $y=1$ с выколотыми точками вида $(\pi n, 1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.