Номер 23.12, страница 173 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.12. Упростите выражение:

1) $\sin\alpha - \sqrt{\operatorname{ctg}^2\alpha - \cos^2\alpha}$, если $180^\circ < \alpha < 360^\circ$;

2) $\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}} - \sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{1 - \cos\alpha}}$, если $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

3) $\sqrt{4\cos^2\alpha + 4\cos\alpha + 1} - \sqrt{4 - 4\sin^2\alpha}$, если $\frac{2\pi}{3} \le \alpha \le \pi$.

1) Упростим выражение под корнем, используя определение котангенса $ ctg\alpha = \frac{cos\alpha}{sin\alpha} $ и основное тригонометрическое тождество $ sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1 $:
$ \sqrt{ctg^2\alpha - cos^2\alpha} = \sqrt{\frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha} - cos^2\alpha} = \sqrt{cos^2\alpha \left(\frac{1}{sin^2\alpha} - 1\right)} = \sqrt{cos^2\alpha \frac{1-sin^2\alpha}{sin^2\alpha}} = \sqrt{cos^2\alpha \frac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}} = \sqrt{\frac{cos^4\alpha}{sin^2\alpha}} = \left|\frac{cos^2\alpha}{sin\alpha}\right| $.
По условию $ 180^\circ < \alpha < 360^\circ $, что соответствует III и IV координатным четвертям. В этом интервале значение синуса отрицательно, то есть $ sin\alpha < 0 $. Так как $ cos^2\alpha \ge 0 $, то вся дробь $ \frac{cos^2\alpha}{sin\alpha} \le 0 $.
Раскрываем модуль: $ \left|\frac{cos^2\alpha}{sin\alpha}\right| = -\frac{cos^2\alpha}{sin\alpha} $.
Подставим полученное выражение в исходное:
$ sin\alpha - \left(-\frac{cos^2\alpha}{sin\alpha}\right) = sin\alpha + \frac{cos^2\alpha}{sin\alpha} = \frac{sin^2\alpha + cos^2\alpha}{sin\alpha} = \frac{1}{sin\alpha} $.
Ответ: $ \frac{1}{sin\alpha} $.

2) Преобразуем каждое из подкоренных выражений, используя формулы половинного угла или домножая на сопряженное выражение:
$ \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}} = \sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)^2}{(1+\cos\alpha)(1-\cos\alpha)}} = \sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)^2}{1-\cos^2\alpha}} = \sqrt{\frac{(1-\cos\alpha)^2}{sin^2\alpha}} = \frac{|1-\cos\alpha|}{|sin\alpha|} $.
$ \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\alpha)^2}{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\alpha)^2}{1-\cos^2\alpha}} = \sqrt{\frac{(1+\cos\alpha)^2}{sin^2\alpha}} = \frac{|1+\cos\alpha|}{|sin\alpha|} $.
По условию $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $, что соответствует III координатной четверти. В этой четверти $ sin\alpha < 0 $ и $ -1 < \cos\alpha < 0 $.
Определим знаки выражений под модулями:
Так как $ -1 < \cos\alpha < 1 $, то $ 1-\cos\alpha > 0 $ и $ 1+\cos\alpha > 0 $.
Поскольку $ sin\alpha < 0 $, то $ |sin\alpha| = -sin\alpha $.
Таким образом, $ \frac{|1-\cos\alpha|}{|sin\alpha|} = \frac{1-\cos\alpha}{-sin\alpha} $ и $ \frac{|1+\cos\alpha|}{|sin\alpha|} = \frac{1+\cos\alpha}{-sin\alpha} $.
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{1-\cos\alpha}{-sin\alpha} - \frac{1+\cos\alpha}{-sin\alpha} = \frac{(1-\cos\alpha) - (1+\cos\alpha)}{-sin\alpha} = \frac{1-\cos\alpha - 1 - \cos\alpha}{-sin\alpha} = \frac{-2\cos\alpha}{-sin\alpha} = 2\frac{\cos\alpha}{sin\alpha} = 2ctg\alpha $.
Ответ: $ 2ctg\alpha $.

3) Упростим каждое из подкоренных выражений.
Первое выражение является полным квадратом: $ \sqrt{4\cos^2\alpha + 4\cos\alpha + 1} = \sqrt{(2\cos\alpha + 1)^2} = |2\cos\alpha + 1| $.
Второе выражение упростим с помощью основного тригонометрического тождества: $ \sqrt{4 - 4\sin^2\alpha} = \sqrt{4(1-\sin^2\alpha)} = \sqrt{4\cos^2\alpha} = |2\cos\alpha| $.
Исходное выражение принимает вид: $ |2\cos\alpha + 1| - |2\cos\alpha| $.
По условию $ \frac{2\pi}{3} \le \alpha \le \pi $. Это II координатная четверть. В этом интервале косинус принимает значения от $ \cos(\pi) = -1 $ до $ \cos(\frac{2\pi}{3}) = -0.5 $. То есть $ -1 \le \cos\alpha \le -0.5 $.
Определим знаки выражений под модулями:
1) $ 2\cos\alpha $: так как $ \cos\alpha $ отрицателен, то и $ 2\cos\alpha < 0 $. Значит, $ |2\cos\alpha| = -2\cos\alpha $.
2) $ 2\cos\alpha + 1 $: так как $ -1 \le \cos\alpha \le -0.5 $, умножим неравенство на 2: $ -2 \le 2\cos\alpha \le -1 $. Прибавим 1: $ -1 \le 2\cos\alpha+1 \le 0 $. Выражение неположительно. Значит, $ |2\cos\alpha + 1| = -(2\cos\alpha + 1) = -2\cos\alpha - 1 $.
Подставим раскрытые модули в выражение:
$ (-2\cos\alpha - 1) - (-2\cos\alpha) = -2\cos\alpha - 1 + 2\cos\alpha = -1 $.
Ответ: $ -1 $.