Номер 23.6, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.6. Докажите тождество:

1) $\sin^4 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cos^4 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha;$

2) $(\text{tg}^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\text{ctg}^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} = 1.$

1) Для доказательства тождества $ \sin^4\alpha \cos^2\alpha + \sin^2\alpha \cos^4\alpha = \sin^2\alpha \cos^2\alpha $ преобразуем его левую часть.
Вынесем за скобки общий множитель $ \sin^2\alpha \cos^2\alpha $:
$ \sin^4\alpha \cos^2\alpha + \sin^2\alpha \cos^4\alpha = \sin^2\alpha \cos^2\alpha (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) $.
Согласно основному тригонометрическому тождеству, $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.
Подставим это значение в наше выражение:
$ \sin^2\alpha \cos^2\alpha \cdot 1 = \sin^2\alpha \cos^2\alpha $.
Мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $ \sin^2\alpha \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \cos^2\alpha $.
Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $ (\text{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha) \cdot \frac{\text{ctg}^2\alpha}{\sin^2\alpha} = 1 $ преобразуем его левую часть.
Сначала преобразуем выражение в скобках, представив тангенс как отношение синуса к косинусу $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $:
$ \text{tg}^2\alpha - \sin^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \sin^2\alpha = \sin^2\alpha \left(\frac{1}{\cos^2\alpha} - 1\right) $.
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$ \sin^2\alpha \left(\frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right) $.
Из основного тригонометрического тождества $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ следует, что $ 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha $. Подставим это в числитель:
$ \sin^2\alpha \cdot \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha} $.
Теперь преобразуем второй множитель, представив котангенс как отношение косинуса к синусу $ \text{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} $:
$ \frac{\text{ctg}^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \frac{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}{\sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha} $.
Перемножим полученные выражения:
$ \frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^4\alpha} = 1 $.
Мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $ 1 = 1 $.
Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.