Номер 23.7, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.7. Докажите тождество:

1) $\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - \sin^6 \alpha - \cos^6 \alpha = \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha;$

2) $\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha + 3\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1.$

1) Докажем тождество $\sin^4\alpha + \cos^4\alpha - \sin^6\alpha - \cos^6\alpha = \sin^2\alpha \cos^2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем слагаемые:

$(\sin^4\alpha - \sin^6\alpha) + (\cos^4\alpha - \cos^6\alpha)$

В каждой группе вынесем общий множитель за скобки:

$\sin^4\alpha(1 - \sin^2\alpha) + \cos^4\alpha(1 - \cos^2\alpha)$

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha$ и $1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. Подставим эти выражения:

$\sin^4\alpha \cdot \cos^2\alpha + \cos^4\alpha \cdot \sin^2\alpha$

Вынесем за скобки общий множитель $\sin^2\alpha \cos^2\alpha$:

$\sin^2\alpha \cos^2\alpha (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)$

Снова применяем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin^2\alpha \cos^2\alpha \cdot 1 = \sin^2\alpha \cos^2\alpha$

Мы преобразовали левую часть тождества к правой. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha \cos^2\alpha = 1$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

Возведем обе части этого тождества в третью степень (в куб):

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha)^3 = 1^3$

Раскроем левую часть, используя формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

В нашем случае $a = \sin^2\alpha$ и $b = \cos^2\alpha$. Получаем:

$(\sin^2\alpha)^3 + (\cos^2\alpha)^3 + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 1$

Упростим степени:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 1$

Так как мы знаем, что $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, подставим это значение в скобки:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha \cdot 1 = 1$

В результате получаем:

$\sin^6\alpha + \cos^6\alpha + 3\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1$

Мы получили исходное выражение, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.