Номер 23.4, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.4. Найдите значения тригонометрических функций аргумента $\alpha$, если:

1) $\cos \alpha = \frac{12}{13}$ и $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;

2) $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{4}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$;

3) $\text{tg } \alpha = -\frac{1}{3}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$;

4) $\text{ctg } \alpha = -7$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.

1) Дано: $ \cos \alpha = \frac{12}{13} $ и $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Угол $ \alpha $ находится в I четверти, где все тригонометрические функции положительны.
Найдем $ \sin \alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{12}{13})^2 = 1 - \frac{144}{169} = \frac{169 - 144}{169} = \frac{25}{169} $.
Так как $ \alpha $ в I четверти, $ \sin \alpha > 0 $, поэтому $ \sin \alpha = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} $.
Найдем $ \text{tg} \, \alpha $ и $ \text{ctg} \, \alpha $:
$ \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{5/13}{12/13} = \frac{5}{12} $.
$ \text{ctg} \, \alpha = \frac{1}{\text{tg} \, \alpha} = \frac{1}{5/12} = \frac{12}{5} $.

Ответ: $ \sin \alpha = \frac{5}{13}, \text{tg} \, \alpha = \frac{5}{12}, \text{ctg} \, \alpha = \frac{12}{5} $.

2) Дано: $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{4} $ и $ \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} $.
Угол $ \alpha $ находится в III четверти, где синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.
Найдем $ \cos \alpha $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.
$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{\sqrt{3}}{4})^2 = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16} $.
Так как $ \alpha $ в III четверти, $ \cos \alpha < 0 $, поэтому $ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{13}{16}} = -\frac{\sqrt{13}}{4} $.
Найдем $ \text{tg} \, \alpha $ и $ \text{ctg} \, \alpha $:
$ \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\sqrt{3}/4}{-\sqrt{13}/4} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{39}}{13} $.
$ \text{ctg} \, \alpha = \frac{1}{\text{tg} \, \alpha} = \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{39}}{3} $.

Ответ: $ \cos \alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}, \text{tg} \, \alpha = \frac{\sqrt{39}}{13}, \text{ctg} \, \alpha = \frac{\sqrt{39}}{3} $.

3) Дано: $ \text{tg} \, \alpha = -\frac{1}{3} $ и $ \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi $.
Угол $ \alpha $ находится в IV четверти, где косинус положителен, а синус, тангенс и котангенс отрицательны.
Найдем $ \text{ctg} \, \alpha $:
$ \text{ctg} \, \alpha = \frac{1}{\text{tg} \, \alpha} = \frac{1}{-1/3} = -3 $.
Найдем $ \cos \alpha $ из тождества $ 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} $.
$ \frac{1}{\cos^2 \alpha} = 1 + (-\frac{1}{3})^2 = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9} $.
$ \cos^2 \alpha = \frac{9}{10} $.
Так как $ \alpha $ в IV четверти, $ \cos \alpha > 0 $, поэтому $ \cos \alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $.
Найдем $ \sin \alpha $ из формулы $ \text{tg} \, \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \implies \sin \alpha = \text{tg} \, \alpha \cdot \cos \alpha $.
$ \sin \alpha = (-\frac{1}{3}) \cdot \frac{3\sqrt{10}}{10} = -\frac{\sqrt{10}}{10} $.

Ответ: $ \sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10}, \cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10}, \text{ctg} \, \alpha = -3 $.

4) Дано: $ \text{ctg} \, \alpha = -7 $ и $ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $.
Угол $ \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен, а косинус, тангенс и котангенс отрицательны.
Найдем $ \text{tg} \, \alpha $:
$ \text{tg} \, \alpha = \frac{1}{\text{ctg} \, \alpha} = -\frac{1}{7} $.
Найдем $ \sin \alpha $ из тождества $ 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} $.
$ \frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + (-7)^2 = 1 + 49 = 50 $.
$ \sin^2 \alpha = \frac{1}{50} $.
Так как $ \alpha $ во II четверти, $ \sin \alpha > 0 $, поэтому $ \sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{10} $.
Найдем $ \cos \alpha $ из формулы $ \text{ctg} \, \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \implies \cos \alpha = \text{ctg} \, \alpha \cdot \sin \alpha $.
$ \cos \alpha = (-7) \cdot \frac{\sqrt{2}}{10} = -\frac{7\sqrt{2}}{10} $.

Ответ: $ \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{10}, \cos \alpha = -\frac{7\sqrt{2}}{10}, \text{tg} \, \alpha = -\frac{1}{7} $.