Номер 23.2, страница 172 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.2. Упростите выражение:

1) $(1 + \text{ctg}\beta)^2 + (1 - \text{ctg}\beta)^2;$

2) $\sin^2 \alpha \cos^2\alpha (\text{tg}^2\alpha + \text{ctg}^2\alpha + 2);$

3) $\frac{\cos\beta}{1 - \sin\beta} + \frac{1 - \sin\beta}{\cos\beta};$

4) $\frac{\text{tg}^2\alpha}{1 + \text{tg}^2\alpha} \cdot \frac{1 + \text{ctg}^2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha};$

5) $\cos^4\alpha + \sin^2\alpha \cos^2\alpha - \cos^2\alpha - 1;$

6) $\text{tg}(-\alpha)\text{ctg}\alpha + \sin^2(-\alpha).$

1) Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$: $(1 + \operatorname{ctg}\beta)^2 + (1 - \operatorname{ctg}\beta)^2 = (1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}^2\beta) + (1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}^2\beta) = 1 + 2\operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}^2\beta + 1 - 2\operatorname{ctg}\beta + \operatorname{ctg}^2\beta$. Приведем подобные слагаемые: $2 + 2\operatorname{ctg}^2\beta$. Вынесем общий множитель за скобки: $2(1 + \operatorname{ctg}^2\beta)$. Используя основное тригонометрическое тождество $1 + \operatorname{ctg}^2\beta = \frac{1}{\sin^2\beta}$, получаем: $2 \cdot \frac{1}{\sin^2\beta} = \frac{2}{\sin^2\beta}$. Ответ: $\frac{2}{\sin^2\beta}$

2) Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что $\operatorname{tg}^2\alpha + \operatorname{ctg}^2\alpha + 2$ является полным квадратом, так как $2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot \operatorname{tg}\alpha \operatorname{ctg}\alpha$. Таким образом, $\operatorname{tg}^2\alpha + \operatorname{ctg}^2\alpha + 2 = (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha)^2$. Преобразуем сумму тангенса и котангенса: $\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$. Тогда $(\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha)^2 = \left(\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha}$. Подставим это в исходное выражение: $\sin^2\alpha \cos^2\alpha \cdot \frac{1}{\sin^2\alpha\cos^2\alpha} = 1$. Ответ: $1$

3) Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - \sin\beta)\cos\beta$: $\frac{\cos\beta}{1 - \sin\beta} + \frac{1 - \sin\beta}{\cos\beta} = \frac{\cos\beta \cdot \cos\beta + (1 - \sin\beta)(1 - \sin\beta)}{(1 - \sin\beta)\cos\beta} = \frac{\cos^2\beta + (1 - \sin\beta)^2}{(1 - \sin\beta)\cos\beta}$. Раскроем квадрат разности в числителе: $\frac{\cos^2\beta + 1 - 2\sin\beta + \sin^2\beta}{(1 - \sin\beta)\cos\beta}$. Сгруппируем слагаемые в числителе и используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\beta + \cos^2\beta = 1$: $\frac{(\sin^2\beta + \cos^2\beta) + 1 - 2\sin\beta}{(1 - \sin\beta)\cos\beta} = \frac{1 + 1 - 2\sin\beta}{(1 - \sin\beta)\cos\beta} = \frac{2 - 2\sin\beta}{(1 - \sin\beta)\cos\beta}$. Вынесем 2 за скобки в числителе и сократим дробь: $\frac{2(1 - \sin\beta)}{(1 - \sin\beta)\cos\beta} = \frac{2}{\cos\beta}$. Ответ: $\frac{2}{\cos\beta}$

4) Воспользуемся тригонометрическими тождествами: $1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ и $1 + \operatorname{ctg}^2\alpha = \frac{1}{\sin^2\alpha}$. Подставим их в выражение: $\frac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} \cdot \frac{1 + \operatorname{ctg}^2\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{\operatorname{tg}^2\alpha}{1/\cos^2\alpha} \cdot \frac{1/\sin^2\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha}$. Упростим каждую дробь отдельно. Первая дробь: $\operatorname{tg}^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} \cdot \cos^2\alpha = \sin^2\alpha$. Вторая дробь: $\frac{1}{\sin^2\alpha \cdot \operatorname{ctg}^2\alpha} = \frac{1}{\sin^2\alpha \cdot \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$. Перемножим полученные выражения: $\sin^2\alpha \cdot \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \operatorname{tg}^2\alpha$. Ответ: $\operatorname{tg}^2\alpha$

5) Сгруппируем первые два слагаемых и вынесем за скобки общий множитель $\cos^2\alpha$: $\cos^4\alpha + \sin^2\alpha\cos^2\alpha - \cos^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - \cos^2\alpha - 1$. Применим основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1$: $\cos^2\alpha \cdot 1 - \cos^2\alpha - 1 = \cos^2\alpha - \cos^2\alpha - 1 = -1$. Ответ: $-1$

6) Используем свойства четности и нечетности тригонометрических функций: $\operatorname{tg}(-\alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$ (тангенс - нечетная функция) и $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ (синус - нечетная функция). Выражение примет вид: $(-\operatorname{tg}\alpha)\operatorname{ctg}\alpha + (-\sin\alpha)^2$. Так как $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$, то первое слагаемое равно $-1$. Второе слагаемое $(-\sin\alpha)^2 = \sin^2\alpha$. Получаем выражение: $-1 + \sin^2\alpha$. Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, из которого следует, что $\sin^2\alpha - 1 = -\cos^2\alpha$. Ответ: $-\cos^2\alpha$