Номер 22.8, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.8. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{ctg x})^2;$

2) $y = tg x + tg |x|;$

3) $y = \sqrt{-tg^2 x};$

4) $y = \frac{ctg x}{|ctg x|};$

5) $y = ctg x - \sqrt{ctg^2 x};$

6) $y = \frac{1}{tg x ctg x}.$

1) $y = (\sqrt{\operatorname{ctg} x})^2$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным, то есть $\operatorname{ctg} x \ge 0$. Это неравенство выполняется для $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. Однако сама функция котангенс не определена в точках $x = \pi n$, где $\sin x = 0$. Следовательно, область определения функции: $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. На своей области определения функция упрощается: $y = (\sqrt{\operatorname{ctg} x})^2 = \operatorname{ctg} x$.

3. Таким образом, необходимо построить график функции $y = \operatorname{ctg} x$ на множестве интервалов $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$ для всех целых $n$. График представляет собой набор периодически повторяющихся ветвей графика котангенса, расположенных в первой и третьей координатных четвертях. Каждая ветвь начинается от вертикальной асимптоты $x = \pi n$ и заканчивается в точке $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$ на оси абсцисс.

Ответ: График функции состоит из частей графика $y = \operatorname{ctg} x$, для которых $y \ge 0$. Это ветви котангенсоиды на интервалах $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$ для всех целых $n$.

2) $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} |x|$

1. Область определения функции задается условием $\cos x \neq 0$, так как $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{tg} |x|$ (поскольку $\cos |x| = \cos x$) должны быть определены. Таким образом, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = 2\operatorname{tg} x$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Так как тангенс — нечетная функция ($\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$), то $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}(-x) = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 0$.

3. Таким образом, график функции состоит из двух частей:
- Для $x < 0$, это луч $y=0$ (часть оси абсцисс), из которого исключены точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ при $n < 0$.
- Для $x \ge 0$, это график функции $y = 2\operatorname{tg} x$, который является графиком $y = \operatorname{tg} x$, растянутым в 2 раза вдоль оси ординат.

Ответ: График функции представляет собой луч $y=0$ для $x < 0$ (с выколотыми точками $x = -\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, \dots$) и график функции $y = 2\operatorname{tg} x$ для $x \ge 0$.

3) $y = \sqrt{-\operatorname{tg}^2 x}$

1. Найдем область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-\operatorname{tg}^2 x \ge 0$.

2. Так как $\operatorname{tg}^2 x \ge 0$ для всех $x$ из области определения тангенса, то $-\operatorname{tg}^2 x \le 0$. Единственный случай, когда выполняется условие $-\operatorname{tg}^2 x \ge 0$, это когда $-\operatorname{tg}^2 x = 0$, что эквивалентно $\operatorname{tg}^2 x = 0$.

3. Уравнение $\operatorname{tg} x = 0$ имеет решения $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это и есть область определения функции.

4. Для всех этих значений $x$ значение функции равно $y = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: График функции представляет собой бесконечное множество изолированных точек на оси абсцисс с координатами $(\pi n, 0)$, где $n$ — любое целое число.

4) $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{|\operatorname{ctg} x|}$

1. Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, $|\operatorname{ctg} x| \neq 0$, что означает $\operatorname{ctg} x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Также сама функция $\operatorname{ctg} x$ должна быть определена, то есть $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Объединяя, получаем ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.

2. Раскроем модуль:
- Если $\operatorname{ctg} x > 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$, и $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg} x} = 1$. Это происходит на интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$.
- Если $\operatorname{ctg} x < 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$, и $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{-\operatorname{ctg} x} = -1$. Это происходит на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$.

Ответ: График функции — это совокупность горизонтальных интервалов. На всех интервалах вида $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ график совпадает с прямой $y=1$. На всех интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$ — с прямой $y=-1$. Концы интервалов не включены.

5) $y = \operatorname{ctg} x - \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x}$

1. Упростим функцию, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $y = \operatorname{ctg} x - |\operatorname{ctg} x|$.

2. Область определения: функция $\operatorname{ctg} x$ должна быть определена, то есть $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3. Раскроем модуль:
- Если $\operatorname{ctg} x \ge 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$, и $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$. Это происходит при $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$.
- Если $\operatorname{ctg} x < 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$, и $y = \operatorname{ctg} x - (-\operatorname{ctg} x) = 2\operatorname{ctg} x$. Это происходит при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$.

Ответ: График состоит из двух типов участков, повторяющихся с периодом $\pi$:
- На полуинтервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$ график совпадает с отрезком оси абсцисс ($y=0$).
- На интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$ график совпадает с графиком функции $y = 2\operatorname{ctg} x$.

6) $y = \frac{1}{\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x}$

1. Найдем область определения. Функции $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ должны быть одновременно определены.
- $\operatorname{tg} x$ определен при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
- $\operatorname{ctg} x$ определен при $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя эти условия, получаем, что $x \neq \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.

2. На всей области определения выполняется тождество $\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$. Поэтому функция принимает вид $y = \frac{1}{1} = 1$.

3. Графиком функции является прямая $y=1$, из которой исключены ("выколоты") точки, абсциссы которых не входят в область определения.

Ответ: График функции — это прямая $y=1$ с выколотыми точками вида $(\frac{\pi k}{2}, 1)$, где $k$ — любое целое число.