Страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.5. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{2}\text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1;$

2) $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right).$

1) Чтобы построить график функции $y = \frac{1}{2}\text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1$, выполним последовательные преобразования графика основной функции $y = \text{ctg}(x)$.

Шаг 1. Строим график функции $y_0 = \text{ctg}(x)$. Это периодическая функция с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2. Строим график функции $y_1 = \text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Этот график получается из графика $y_0 = \text{ctg}(x)$ сдвигом влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Вертикальные асимптоты смещаются и теперь задаются уравнениями $x = k\pi - \frac{\pi}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3. Строим график функции $y_2 = \frac{1}{2}\text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$. Этот график получается из графика $y_1$ путем сжатия в 2 раза вдоль оси Oy. Все значения y умножаются на $\frac{1}{2}$.

Шаг 4. Строим искомый график функции $y = \frac{1}{2}\text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1$. Этот график получается из графика $y_2$ сдвигом вверх вдоль оси Oy на 1. "Центральная" линия графика, относительно которой располагаются ветви котангенсоиды, теперь $y=1$.

Свойства и ключевые точки итоговой функции:

• Область определения: $x + \frac{\pi}{4} \neq k\pi \implies x \neq k\pi - \frac{\pi}{4}$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Период: $T = \pi$.
• Вертикальные асимптоты: $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Найдем несколько точек для построения одной ветви, например, на интервале $(-\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4})$:
– Если $x=0$, то $y = \frac{1}{2}\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) + 1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + 1 = 1.5$. Точка $(0; 1.5)$.
– Если $x=\frac{\pi}{4}$, то $y = \frac{1}{2}\text{ctg}(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) + 1 = \frac{1}{2}\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) + 1 = \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(\frac{\pi}{4}; 1)$.
– Если $x=\frac{\pi}{2}$, то $y = \frac{1}{2}\text{ctg}(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) + 1 = \frac{1}{2}\text{ctg}(\frac{3\pi}{4}) + 1 = \frac{1}{2} \cdot (-1) + 1 = 0.5$. Точка $(\frac{\pi}{2}; 0.5)$.

Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}\text{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) + 1$ получается из графика $y=\text{ctg}(x)$ путем сдвига влево на $\frac{\pi}{4}$, сжатия по оси Oy в 2 раза и сдвига вверх на 1. Асимптоты графика: $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) Чтобы построить график функции $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$, выполним последовательные преобразования графика основной функции $y = \text{tg}(x)$.

Преобразуем выражение в скобках, чтобы явно выделить сдвиг: $y = \text{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$.

Шаг 1. Строим график функции $y_0 = \text{tg}(x)$. Это периодическая функция с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2. Строим график функции $y_1 = \text{tg}(2x)$. Этот график получается из графика $y_0 = \text{tg}(x)$ путем сжатия в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции уменьшается в 2 раза: $T = \frac{\pi}{2}$. Вертикальные асимптоты теперь задаются уравнениями $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3. Строим искомый график функции $y = \text{tg}\left(2\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right)$. Этот график получается из графика $y_1$ сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.

Свойства и ключевые точки итоговой функции:

• Область определения: $2x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \implies 2x \neq \frac{5\pi}{6} + k\pi \implies x \neq \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Область значений: $(-\infty; +\infty)$.
• Период: $T = \frac{\pi}{2}$.
• Вертикальные асимптоты: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $2x - \frac{\pi}{3} = k\pi \implies 2x = \frac{\pi}{3} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Найдем несколько точек для построения одной ветви, например, на интервале $(-\frac{\pi}{12}; \frac{5\pi}{12})$:
– Центр симметрии ветви (нуль функции): $x = \frac{\pi}{6}$. Точка $(\frac{\pi}{6}; 0)$.
– Точка, где значение функции равно 1: $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{4} \implies 2x = \frac{7\pi}{12} \implies x = \frac{7\pi}{24}$. Точка $(\frac{7\pi}{24}; 1)$.
– Точка, где значение функции равно -1: $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} \implies 2x = \frac{\pi}{12} \implies x = \frac{\pi}{24}$. Точка $(\frac{\pi}{24}; -1)$.

Ответ: График функции $y = \text{tg}\left(2x - \frac{\pi}{3}\right)$ получается из графика $y=\text{tg}(x)$ путем сжатия по оси Ox в 2 раза и сдвига вправо на $\frac{\pi}{6}$. Асимптоты графика: $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$. Период $T=\frac{\pi}{2}$.

22.6. Постройте график функции:

1) $y = 2\text{tg}\left(x + \frac{2\pi}{3}\right) - \frac{1}{2}$

2) $y = \text{ctg}\left(3x - \frac{\pi}{12}\right)$

1) $y = 2\tan(x + \frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2}$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика основной функции $y = \tan(x)$.

Шаг 1: Построение основного графика $y_1 = \tan(x)$.
Это тангенсоида с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2: Горизонтальный сдвиг.
Строим график функции $y_2 = \tan(x + \frac{2\pi}{3})$. Этот график получается из графика $y_1 = \tan(x)$ сдвигом влево вдоль оси $Ox$ на $\frac{2\pi}{3}$. Асимптоты смещаются на $\frac{2\pi}{3}$ влево и теперь задаются уравнениями $x = \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{3} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Вертикальное растяжение.
Строим график функции $y_3 = 2\tan(x + \frac{2\pi}{3})$. Этот график получается из графика $y_2$ растяжением в 2 раза вдоль оси $Oy$. Значение функции в каждой точке (кроме точек пересечения с осью $Ox$) увеличивается в 2 раза по модулю.

Шаг 4: Вертикальный сдвиг.
Строим искомый график функции $y = 2\tan(x + \frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2}$. Этот график получается из графика $y_3$ сдвигом вниз вдоль оси $Oy$ на $\frac{1}{2}$.

Найдем ключевые точки для построения одной ветви графика.
Период функции не изменился и равен $T = \pi$.
Вертикальные асимптоты: $x = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим одну ветвь на интервале между асимптотами $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.
- Центр симметрии ветви (точка перегиба) находится посередине между асимптотами: $x = \frac{-\pi/6 + 5\pi/6}{2} = \frac{4\pi/6}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Найдем значение $y$ в этой точке: $y(\frac{\pi}{3}) = 2\tan(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2} = 2\tan(\pi) - \frac{1}{2} = 2 \cdot 0 - \frac{1}{2} = -0.5$. Точка $(\frac{\pi}{3}, -0.5)$.
- Найдем еще две точки. Возьмем $x$ посередине между центром и асимптотами.
$x_1 = \frac{-\pi/6 + \pi/3}{2} = \frac{\pi/6}{2} = \frac{\pi}{12}$.
$y(\frac{\pi}{12}) = 2\tan(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2} = 2\tan(\frac{9\pi}{12}) - \frac{1}{2} = 2\tan(\frac{3\pi}{4}) - \frac{1}{2} = 2(-1) - \frac{1}{2} = -2.5$. Точка $(\frac{\pi}{12}, -2.5)$.
$x_2 = \frac{\pi/3 + 5\pi/6}{2} = \frac{7\pi/6}{2} = \frac{7\pi}{12}$.
$y(\frac{7\pi}{12}) = 2\tan(\frac{7\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2} = 2\tan(\frac{15\pi}{12}) - \frac{1}{2} = 2\tan(\frac{5\pi}{4}) - \frac{1}{2} = 2(1) - \frac{1}{2} = 1.5$. Точка $(\frac{7\pi}{12}, 1.5)$.

Построение:
1. На координатной плоскости проводим вертикальные асимптоты $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{5\pi}{6}$ и т.д.
2. Отмечаем найденные точки: $(\frac{\pi}{12}, -2.5)$, $(\frac{\pi}{3}, -0.5)$, $(\frac{7\pi}{12}, 1.5)$.
3. Соединяем точки плавной кривой, которая приближается к асимптотам.
4. Повторяем эту ветвь на других периодах.

Ответ: График функции $y = 2\tan(x + \frac{2\pi}{3}) - \frac{1}{2}$ получается из графика $y = \tan(x)$ путем сдвига влево на $\frac{2\pi}{3}$, растяжения по вертикали в 2 раза и сдвига вниз на $\frac{1}{2}$.

2) $y = \cot(3x - \frac{\pi}{12})$

Для построения графика данной функции выполним последовательные преобразования графика основной функции $y = \cot(x)$. Для удобства преобразуем выражение в скобках: $y = \cot(3(x - \frac{\pi}{36}))$.

Шаг 1: Построение основного графика $y_1 = \cot(x)$.
Это котангенсоида с периодом $T = \pi$ и вертикальными асимптотами $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 2: Горизонтальное сжатие.
Строим график функции $y_2 = \cot(3x)$. Этот график получается из графика $y_1 = \cot(x)$ сжатием в 3 раза вдоль оси $Ox$. Период функции уменьшается в 3 раза: $T' = \frac{\pi}{3}$. Асимптоты теперь задаются уравнениями $3x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Горизонтальный сдвиг.
Строим искомый график функции $y = \cot(3(x - \frac{\pi}{36}))$. Этот график получается из графика $y_2$ сдвигом вправо вдоль оси $Ox$ на $\frac{\pi}{36}$.

Найдем ключевые точки для построения одной ветви графика.
Период функции: $T = \frac{\pi}{3}$.
Вертикальные асимптоты: $3x - \frac{\pi}{12} = \pi n \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{12} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{36} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим одну ветвь на интервале между асимптотами $x = \frac{\pi}{36}$ (при n=0) и $x = \frac{13\pi}{36}$ (при n=1).
- Пересечение с осью $Ox$ (корень функции) находится посередине между асимптотами: $x = \frac{\pi/36 + 13\pi/36}{2} = \frac{14\pi/36}{2} = \frac{7\pi}{36}$.
Проверим: $y(\frac{7\pi}{36}) = \cot(3 \cdot \frac{7\pi}{36} - \frac{\pi}{12}) = \cot(\frac{7\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = \cot(\frac{6\pi}{12}) = \cot(\frac{\pi}{2}) = 0$. Точка $(\frac{7\pi}{36}, 0)$.
- Найдем еще две точки. Возьмем $x$ посередине между корнем и асимптотами.
$x_1 = \frac{\pi/36 + 7\pi/36}{2} = \frac{8\pi/36}{2} = \frac{4\pi}{36} = \frac{\pi}{9}$.
$y(\frac{\pi}{9}) = \cot(3 \cdot \frac{\pi}{9} - \frac{\pi}{12}) = \cot(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{12}) = \cot(\frac{3\pi}{12}) = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1$. Точка $(\frac{\pi}{9}, 1)$.
$x_2 = \frac{7\pi/36 + 13\pi/36}{2} = \frac{20\pi/36}{2} = \frac{10\pi}{36} = \frac{5\pi}{18}$.
$y(\frac{5\pi}{18}) = \cot(3 \cdot \frac{5\pi}{18} - \frac{\pi}{12}) = \cot(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{12}) = \cot(\frac{9\pi}{12}) = \cot(\frac{3\pi}{4}) = -1$. Точка $(\frac{5\pi}{18}, -1)$.

Построение:
1. На координатной плоскости проводим вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{36}$, $x = \frac{13\pi}{36}$ и т.д.
2. Отмечаем найденные точки: $(\frac{\pi}{9}, 1)$, $(\frac{7\pi}{36}, 0)$, $(\frac{5\pi}{18}, -1)$.
3. Соединяем точки плавной убывающей кривой, которая приближается к асимптотам.
4. Повторяем эту ветвь на других периодах.

Ответ: График функции $y = \cot(3x - \frac{\pi}{12})$ получается из графика $y = \cot(x)$ путем сжатия по горизонтали в 3 раза и сдвига вправо на $\frac{\pi}{36}$.

22.7. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = \frac{2}{3} \operatorname{tg} 80^\circ;$

2) $\cos \alpha = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{18}?$

1)Для того чтобы равенство $ \sin \alpha = \frac{2}{3} \tg 80^\circ $ было возможно, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции синус, то есть отрезку $ [-1; 1] $.
Оценим значение выражения $ \frac{2}{3} \tg 80^\circ $.
Функция тангенс является возрастающей на интервале $ (0^\circ; 90^\circ) $.
Известно, что $ \tg 60^\circ = \sqrt{3} $.
Поскольку $ 80^\circ > 60^\circ $, то $ \tg 80^\circ > \tg 60^\circ $, следовательно, $ \tg 80^\circ > \sqrt{3} $.
Тогда $ \frac{2}{3} \tg 80^\circ > \frac{2}{3} \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $.
Сравним $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $ с единицей. Возведем оба положительных числа в квадрат:
$ (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{4 \cdot 3}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} $.
Так как $ \frac{4}{3} > 1 $, то и $ \frac{2\sqrt{3}}{3} > 1 $.
Таким образом, мы получили, что $ \frac{2}{3} \tg 80^\circ > 1 $.
Поскольку значение синуса любого угла не может превышать 1 ($ \sin \alpha \le 1 $), данное равенство невозможно.
Ответ: равенство невозможно.

2)Для того чтобы равенство $ \cos \alpha = \ctg \frac{\pi}{18} $ было возможно, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции косинус, то есть отрезку $ [-1; 1] $.
Оценим значение выражения $ \ctg \frac{\pi}{18} $.
Переведем радианы в градусы: $ \frac{\pi}{18} = \frac{180^\circ}{18} = 10^\circ $.
Следовательно, нам нужно оценить $ \ctg 10^\circ $.
Функция котангенс является убывающей на интервале $ (0^\circ; 180^\circ) $.
Известно, что $ \ctg 30^\circ = \sqrt{3} $.
Поскольку $ 10^\circ < 30^\circ $, то $ \ctg 10^\circ > \ctg 30^\circ $, следовательно, $ \ctg 10^\circ > \sqrt{3} $.
Так как $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, то $ \sqrt{3} > 1 $.
Таким образом, мы получили, что $ \ctg \frac{\pi}{18} > 1 $.
Поскольку значение косинуса любого угла не может превышать 1 ($ \cos \alpha \le 1 $), данное равенство невозможно.
Ответ: равенство невозможно.

22.8. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{ctg x})^2;$

2) $y = tg x + tg |x|;$

3) $y = \sqrt{-tg^2 x};$

4) $y = \frac{ctg x}{|ctg x|};$

5) $y = ctg x - \sqrt{ctg^2 x};$

6) $y = \frac{1}{tg x ctg x}.$

1) $y = (\sqrt{\operatorname{ctg} x})^2$

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным, то есть $\operatorname{ctg} x \ge 0$. Это неравенство выполняется для $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$. Однако сама функция котангенс не определена в точках $x = \pi n$, где $\sin x = 0$. Следовательно, область определения функции: $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. На своей области определения функция упрощается: $y = (\sqrt{\operatorname{ctg} x})^2 = \operatorname{ctg} x$.

3. Таким образом, необходимо построить график функции $y = \operatorname{ctg} x$ на множестве интервалов $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$ для всех целых $n$. График представляет собой набор периодически повторяющихся ветвей графика котангенса, расположенных в первой и третьей координатных четвертях. Каждая ветвь начинается от вертикальной асимптоты $x = \pi n$ и заканчивается в точке $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$ на оси абсцисс.

Ответ: График функции состоит из частей графика $y = \operatorname{ctg} x$, для которых $y \ge 0$. Это ветви котангенсоиды на интервалах $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$ для всех целых $n$.

2) $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} |x|$

1. Область определения функции задается условием $\cos x \neq 0$, так как $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{tg} |x|$ (поскольку $\cos |x| = \cos x$) должны быть определены. Таким образом, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
- Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = 2\operatorname{tg} x$.
- Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Так как тангенс — нечетная функция ($\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg} x$), то $y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg}(-x) = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 0$.

3. Таким образом, график функции состоит из двух частей:
- Для $x < 0$, это луч $y=0$ (часть оси абсцисс), из которого исключены точки $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ при $n < 0$.
- Для $x \ge 0$, это график функции $y = 2\operatorname{tg} x$, который является графиком $y = \operatorname{tg} x$, растянутым в 2 раза вдоль оси ординат.

Ответ: График функции представляет собой луч $y=0$ для $x < 0$ (с выколотыми точками $x = -\frac{\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, \dots$) и график функции $y = 2\operatorname{tg} x$ для $x \ge 0$.

3) $y = \sqrt{-\operatorname{tg}^2 x}$

1. Найдем область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-\operatorname{tg}^2 x \ge 0$.

2. Так как $\operatorname{tg}^2 x \ge 0$ для всех $x$ из области определения тангенса, то $-\operatorname{tg}^2 x \le 0$. Единственный случай, когда выполняется условие $-\operatorname{tg}^2 x \ge 0$, это когда $-\operatorname{tg}^2 x = 0$, что эквивалентно $\operatorname{tg}^2 x = 0$.

3. Уравнение $\operatorname{tg} x = 0$ имеет решения $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это и есть область определения функции.

4. Для всех этих значений $x$ значение функции равно $y = \sqrt{0} = 0$.

Ответ: График функции представляет собой бесконечное множество изолированных точек на оси абсцисс с координатами $(\pi n, 0)$, где $n$ — любое целое число.

4) $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{|\operatorname{ctg} x|}$

1. Область определения: знаменатель не должен быть равен нулю, $|\operatorname{ctg} x| \neq 0$, что означает $\operatorname{ctg} x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Также сама функция $\operatorname{ctg} x$ должна быть определена, то есть $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Объединяя, получаем ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$ для любого целого $k$.

2. Раскроем модуль:
- Если $\operatorname{ctg} x > 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$, и $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{\operatorname{ctg} x} = 1$. Это происходит на интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$.
- Если $\operatorname{ctg} x < 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$, и $y = \frac{\operatorname{ctg} x}{-\operatorname{ctg} x} = -1$. Это происходит на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$.

Ответ: График функции — это совокупность горизонтальных интервалов. На всех интервалах вида $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ график совпадает с прямой $y=1$. На всех интервалах вида $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$ — с прямой $y=-1$. Концы интервалов не включены.

5) $y = \operatorname{ctg} x - \sqrt{\operatorname{ctg}^2 x}$

1. Упростим функцию, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$: $y = \operatorname{ctg} x - |\operatorname{ctg} x|$.

2. Область определения: функция $\operatorname{ctg} x$ должна быть определена, то есть $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

3. Раскроем модуль:
- Если $\operatorname{ctg} x \ge 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = \operatorname{ctg} x$, и $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$. Это происходит при $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$.
- Если $\operatorname{ctg} x < 0$, то $|\operatorname{ctg} x| = -\operatorname{ctg} x$, и $y = \operatorname{ctg} x - (-\operatorname{ctg} x) = 2\operatorname{ctg} x$. Это происходит при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$.

Ответ: График состоит из двух типов участков, повторяющихся с периодом $\pi$:
- На полуинтервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n]$ график совпадает с отрезком оси абсцисс ($y=0$).
- На интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$ график совпадает с графиком функции $y = 2\operatorname{ctg} x$.

6) $y = \frac{1}{\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x}$

1. Найдем область определения. Функции $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$ должны быть одновременно определены.
- $\operatorname{tg} x$ определен при $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
- $\operatorname{ctg} x$ определен при $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя эти условия, получаем, что $x \neq \frac{\pi m}{2}$ для любого целого $m$.

2. На всей области определения выполняется тождество $\operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1$. Поэтому функция принимает вид $y = \frac{1}{1} = 1$.

3. Графиком функции является прямая $y=1$, из которой исключены ("выколоты") точки, абсциссы которых не входят в область определения.

Ответ: График функции — это прямая $y=1$ с выколотыми точками вида $(\frac{\pi k}{2}, 1)$, где $k$ — любое целое число.

22.9. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{\text{tg}x})^2$;

2) $y = \text{ctg}x - \text{ctg}|x|$;

3) $y = \sqrt{-\text{ctg}^2x}$;

4) $y = \frac{|\text{tg}x|}{\text{tg}x}$;

5) $y = \text{tg}x + \sqrt{\text{tg}^2x}$;

6) $y = \text{tg}x \text{ctg}x$.

1) $y = (\sqrt{\operatorname{tg} x})^2$

1. Найдём область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\operatorname{tg} x \ge 0$.
Это неравенство выполняется при $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Упростим функцию. На области определения $(\sqrt{a})^2 = a$, поэтому:
$y = \operatorname{tg} x$.

3. Таким образом, нужно построить график функции $y = \operatorname{tg} x$ при условии, что $\operatorname{tg} x \ge 0$. Это те части графика тангенса, которые лежат не ниже оси Ox.

Ответ: График функции представляет собой части графика функции $y = \operatorname{tg} x$, расположенные в первой и третьей координатных четвертях, то есть на интервалах $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} |x|$

1. Найдём ОДЗ. Функции $\operatorname{ctg} x$ и $\operatorname{ctg} |x|$ должны быть определены.
$\sin x \neq 0 \implies x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
$\sin |x| \neq 0 \implies |x| \neq \pi n \implies x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Общая ОДЗ: $x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $x > 0$.
Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид:
$y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg} x = 0$.
Случай 2: $x < 0$.
Тогда $|x| = -x$. Используя свойство нечётности котангенса $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$, получаем:
$y = \operatorname{ctg} x - \operatorname{ctg}(-x) = \operatorname{ctg} x - (-\operatorname{ctg} x) = 2\operatorname{ctg} x$.

3. Строим график. Для $x > 0$ это луч $y=0$ (положительная полуось Ox) с выколотыми точками $x = \pi, 2\pi, 3\pi, ...$. Для $x < 0$ это график функции $y=2\operatorname{ctg} x$, который является графиком $y=\operatorname{ctg} x$, растянутым в 2 раза вдоль оси Oy.

Ответ: График функции состоит из двух частей: для $x>0$ это положительная полуось Ox ($y=0$) с выколотыми точками $x = \pi n, n \in \mathbb{N}$; для $x<0$ это график функции $y = 2\operatorname{ctg} x$.

3) $y = \sqrt{-\operatorname{ctg}^2 x}$

1. Найдём ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$-\operatorname{ctg}^2 x \ge 0$.
Поскольку $\operatorname{ctg}^2 x = (\operatorname{ctg} x)^2 \ge 0$ для всех $x$ из области определения котангенса, то $-\operatorname{ctg}^2 x \le 0$.
Следовательно, неравенство $-\operatorname{ctg}^2 x \ge 0$ выполняется только в одном случае:
$-\operatorname{ctg}^2 x = 0 \implies \operatorname{ctg} x = 0$.

2. Решим уравнение $\operatorname{ctg} x = 0$:
$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3. Найдём значение функции в этих точках:
$y = \sqrt{-0^2} = 0$.

4. Таким образом, функция определена только в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ и в этих точках равна нулю. График представляет собой набор изолированных точек.

Ответ: График функции представляет собой бесконечное множество изолированных точек на оси Ox с координатами $(\frac{\pi}{2} + \pi n, 0)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \frac{|\operatorname{tg} x|}{\operatorname{tg} x}$

1. Найдём ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю, и тангенс должен быть определен.
$\operatorname{tg} x \neq 0 \implies x \neq \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя, получаем ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Упростим функцию, рассмотрев два случая.
Случай 1: $\operatorname{tg} x > 0$.
Это происходит при $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$, и:
$y = \frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x} = 1$.
Случай 2: $\operatorname{tg} x < 0$.
Это происходит при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$, и:
$y = \frac{-\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} x} = -1$.

3. График представляет собой набор горизонтальных интервалов на уровнях $y=1$ и $y=-1$.

Ответ: График функции состоит из бесконечного набора горизонтальных интервалов. На интервалах $(\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$ график представляет собой отрезок прямой $y=1$, а на интервалах $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$ — отрезок прямой $y=-1$, где $n \in \mathbb{Z}$. Концы интервалов выколоты.

5) $y = \operatorname{tg} x + \sqrt{\operatorname{tg}^2 x}$

1. Найдём ОДЗ. Функция $\operatorname{tg} x$ должна быть определена:
$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

2. Упростим выражение. По определению, $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому:
$y = \operatorname{tg} x + |\operatorname{tg} x|$.

3. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.
Случай 1: $\operatorname{tg} x \ge 0$.
Это происходит при $x \in [\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $|\operatorname{tg} x| = \operatorname{tg} x$, и:
$y = \operatorname{tg} x + \operatorname{tg} x = 2\operatorname{tg} x$.
Случай 2: $\operatorname{tg} x < 0$.
Это происходит при $x \in (\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$, $n \in \mathbb{Z}$. Тогда $|\operatorname{tg} x| = -\operatorname{tg} x$, и:
$y = \operatorname{tg} x - \operatorname{tg} x = 0$.

Ответ: График функции совпадает с графиком $y = 2\operatorname{tg} x$ на интервалах, где $\operatorname{tg} x \ge 0$ (то есть $[\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$), и совпадает с осью Ox ($y=0$) на интервалах, где $\operatorname{tg} x < 0$ (то есть $(\frac{\pi}{2} + \pi n, \pi(n+1))$), где $n \in \mathbb{Z}$.

6) $y = \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x$

1. Найдём ОДЗ. Обе функции, $\operatorname{tg} x$ и $\operatorname{ctg} x$, должны быть определены.
Для $\operatorname{tg} x$: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
Для $\operatorname{ctg} x$: $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Объединяя эти условия, получаем, что $x$ не может быть равен целому кратному $\frac{\pi}{2}$.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2. Упростим функцию. На области определения $\operatorname{tg} x \operatorname{ctg} x = 1$.
$y = 1$.

3. Таким образом, график функции — это горизонтальная прямая $y=1$, из которой исключены (выколоты) точки, не входящие в ОДЗ.

Ответ: График функции — прямая $y=1$ с выколотыми точками, абсциссы которых $x = \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

22.10. Постройте график уравнения:

1) $\tan x \tan y = 0$;

2) $\tan^2 x + \tan^2 y = 0$.

1) $\tg x \cdot \tg y = 0$

Область определения уравнения (ОДЗ) задаётся условиями $\cos x \neq 0$ и $\cos y \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $n$ и $m$ — любые целые числа ($n, m \in \mathbb{Z}$).

Произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю, а другое при этом имеет смысл. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$\left[ \begin{array}{l} \tg x = 0 \\ \tg y = 0 \end{array} \right.$

Решим каждое уравнение по отдельности:

1. Уравнение $\tg x = 0$ имеет решения $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Эти решения представляют собой семейство вертикальных прямых на координатной плоскости.

2. Уравнение $\tg y = 0$ имеет решения $y = \pi l$, где $l \in \mathbb{Z}$. Эти решения представляют собой семейство горизонтальных прямых.

Графиком исходного уравнения является объединение графиков этих двух семейств прямых. Все эти прямые входят в область определения, так как для $x = \pi k$ значение $\cos x$ не равно нулю, и для $y = \pi l$ значение $\cos y$ не равно нулю.

Ответ: Графиком уравнения является совокупность всех прямых вида $x = \pi k$ и $y = \pi l$, где $k, l \in \mathbb{Z}$. Это бесконечная сетка, состоящая из вертикальных и горизонтальных линий.

2) $\tg^2 x + \tg^2 y = 0$

Область определения уравнения (ОДЗ) та же, что и в предыдущем пункте: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$, где $n, m \in \mathbb{Z}$.

Выражения $\tg^2 x$ и $\tg^2 y$ являются неотрицательными, то есть $\tg^2 x \ge 0$ и $\tg^2 y \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} \tg^2 x = 0 \\ \tg^2 y = 0 \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{l} \tg x = 0 \\ \tg y = 0 \end{array} \right.$

Решаем эту систему:

Из уравнения $\tg x = 0$ получаем $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения $\tg y = 0$ получаем $y = \pi l$, где $l \in \mathbb{Z}$.

Поскольку это система, оба условия должны выполняться одновременно. Таким образом, решениями являются все точки $(x, y)$ на координатной плоскости, координаты которых имеют вид $(\pi k, \pi l)$, где $k$ и $l$ — любые целые числа.

Ответ: Графиком уравнения является множество точек с координатами $(\pi k, \pi l)$, где $k \in \mathbb{Z}$ и $l \in \mathbb{Z}$. Эти точки являются узлами бесконечной сетки.

22.11. Постройте график уравнения:

1) $\frac{\text{tg } x}{\text{tg } y} = 0$;

2) $\text{tg } \pi(x - y) = 1$.

1) $\frac{\operatorname{tg} x}{\operatorname{tg} y} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \operatorname{tg} x = 0, \\ \operatorname{tg} y \neq 0. \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение: $\operatorname{tg} x = 0$.

Решением этого уравнения является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Это множество вертикальных прямых.

Теперь рассмотрим второе условие: $\operatorname{tg} y \neq 0$.

Это означает, что $y \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Также необходимо учесть область определения (ОДЗ) тангенса:

• Для $\operatorname{tg} x$: $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$. Наши решения $x = \pi n$ удовлетворяют этому условию, так как $\cos(\pi n) = \pm 1 \neq 0$.
• Для $\operatorname{tg} y$: $\cos y \neq 0$, что означает $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi l, l \in \mathbb{Z}$.

Итак, графиком уравнения является множество вертикальных прямых $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, из которых нужно исключить точки, где не выполняются условия $\operatorname{tg} y \neq 0$ и $\cos y \neq 0$.

Точки, которые нужно исключить (выколоть), имеют ординаты:

• $y = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$ (из условия $\operatorname{tg} y \neq 0$).
• $y = \frac{\pi}{2} + \pi l$, $l \in \mathbb{Z}$ (из ОДЗ для $\operatorname{tg} y$).

Объединяя эти два условия, получаем, что нужно исключить все точки с ординатами $y = \frac{\pi}{2} m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Графиком является семейство вертикальных прямых $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$, из которых выколоты точки $(\pi n, \frac{\pi}{2} m)$ для всех целых $n$ и $m$.

2) $\operatorname{tg}(\pi(x - y)) = 1$

Это тригонометрическое уравнение. Решение уравнения $\operatorname{tg} A = 1$ имеет вид $A = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $A = \pi(x - y)$. Подставляем и получаем:

$\pi(x - y) = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$:

$x - y = \frac{1}{4} + n$.

Выразим $y$ через $x$:

$y = x - \frac{1}{4} - n$.

Поскольку $n$ — любое целое число, то $-n$ также является любым целым числом. Для удобства можно заменить $-n$ на $k$, где $k \in \mathbb{Z}$:

$y = x - \frac{1}{4} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Это уравнение задает семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 1.

Проверим область определения. Аргумент тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$:

$\pi(x-y) \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$

$x-y \neq \frac{1}{2} + m$

Из нашего решения $x - y = \frac{1}{4} + n$. Сравнивая, получаем $\frac{1}{4} + n \neq \frac{1}{2} + m$, что равносильно $n-m \neq \frac{1}{4}$. Так как разность двух целых чисел $n-m$ всегда является целым числом, она никогда не может быть равна $\frac{1}{4}$. Следовательно, область определения не накладывает никаких дополнительных ограничений на найденное решение.

Ответ: Графиком является семейство параллельных прямых, заданных уравнением $y = x - \frac{1}{4} + k$, где $k \in \mathbb{Z}$.