Страница 162 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Перечислите свойства функции $y = \sin x$, $y = \cos x$.

2. Как называют график функции $y = \sin x$, $y = \cos x$?

3. Почему графики функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ являются равными фи-гурами?

1. Перечислите свойства функции y = sin x; y = cos x.

Свойства функции $y = \sin x$:

• Область определения: все действительные числа, $D(\sin) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: отрезок от -1 до 1, $E(\sin) = [-1; 1]$.
• Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. То есть, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$.
• Четность: функция нечетная, так как $\sin(-x) = -\sin x$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $\sin x > 0$ при $x \in (2\pi k; \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • $\sin x < 0$ при $x \in (\pi + 2\pi k; 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности:
  • Возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Убывает на промежутках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Экстремумы:
  • $y_{max} = 1$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • $y_{min} = -1$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Свойства функции $y = \cos x$:

• Область определения: все действительные числа, $D(\cos) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: отрезок от -1 до 1, $E(\cos) = [-1; 1]$.
• Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = 2\pi$. То есть, $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.
• Четность: функция четная, так как $\cos(-x) = \cos x$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: $y = 0$ при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $\cos x > 0$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • $\cos x < 0$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки монотонности:
  • Возрастает на промежутках $[-\pi + 2\pi k; 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • Убывает на промежутках $[2\pi k; \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Экстремумы:
  • $y_{max} = 1$ при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
  • $y_{min} = -1$ при $x = \pi + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Выше перечислены основные свойства функций синуса и косинуса, включая область определения и значений, периодичность, четность, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности и экстремумы.

2. Как называют график функции y = sin x; y = cos x?

Графики функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ имеют одинаковую форму волнистой линии и называются синусоидами. Иногда график функции $y = \cos x$ также называют косинусоидой, но это частный случай синусоиды.

Ответ: Синусоида.

3. Почему графики функций y = sin x и y = cos x являются равными фигурами?

Две фигуры называются равными (или конгруэнтными), если одну можно совместить с другой с помощью движения (параллельного переноса, поворота или симметрии). Графики функций $y = \sin x$ и $y = \cos x$ являются равными фигурами, потому что один график можно получить из другого путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс (оси Ох).

Это следует из формул приведения:

• $\cos x = \sin(x + \frac{\pi}{2})$, что означает, что график $y = \cos x$ получается из графика $y = \sin x$ сдвигом влево на $\frac{\pi}{2}$.
• $\sin x = \cos(x - \frac{\pi}{2})$, что означает, что график $y = \sin x$ получается из графика $y = \cos x$ сдвигом вправо на $\frac{\pi}{2}$.

Так как параллельный перенос является движением, которое сохраняет форму и размеры фигуры, то графики синуса и косинуса являются равными фигурами.

Ответ: Графики являются равными фигурами, так как график функции $y = \cos x$ можно получить из графика $y = \sin x$ параллельным переносом вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{2}$ влево (и наоборот, сдвигом вправо).

21.1. На каких из указанных промежутков функция $y = \sin x$ возрастает:

1) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}];$

2) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}];$

3) $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}];$

4) $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]?$

Функция $y = \sin x$ является возрастающей на тех промежутках, где ее производная неотрицательна. Найдем производную функции:$y' = (\sin x)' = \cos x$. Следовательно, нам нужно определить, на каких из предложенных промежутков выполняется условие $\cos x \ge 0$. Общие промежутки, на которых $\cos x \ge 0$, имеют вид $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).Рассмотрим каждый из предложенных промежутков.

1) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$
Этот промежуток соответствует общему виду $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ при $k=0$. На этом интервале $\cos x \ge 0$, поэтому функция $y = \sin x$ возрастает.
Ответ: возрастает.

2) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$
Этот промежуток можно разбить на два: $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ и $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$. На первом участке функция возрастает, так как на нем $\cos x \ge 0$. На втором участке, $[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$, функция убывает, так как на нем $\cos x \le 0$. Поскольку на всем промежутке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$ функция не сохраняет характер монотонности, она не является возрастающей на этом промежутке.
Ответ: не возрастает.

3) $[-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}]$
На этом промежутке производная $y' = \cos x \le 0$. Следовательно, функция $y = \sin x$ убывает. Например, $\sin(-\frac{3\pi}{2}) = 1$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$. При увеличении аргумента значение функции уменьшается.
Ответ: не возрастает.

4) $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$?
Данный промежуток соответствует общему виду промежутка возрастания $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$ при $k=-1$:$[-\frac{\pi}{2} + 2\pi(-1); \frac{\pi}{2} + 2\pi(-1)] = [-\frac{\pi}{2} - 2\pi; \frac{\pi}{2} - 2\pi] = [-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$. На этом интервале $\cos x \ge 0$, поэтому функция $y = \sin x$ возрастает.
Ответ: возрастает.