Страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.14. Постройте график функции:

1) $y = \left|\sin\left|\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}\right|\right|;$

2) $y = \left|\cos\left|2x - \frac{\pi}{3}\right|\right|.$

1) Построение графика функции $y = |\sin|\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}||$ выполняется путем последовательных преобразований графика $y = \sin(x)$.
1. Построим график $y_1 = \sin(\frac{1}{2}x)$. Это график $y = \sin(x)$, растянутый в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
2. Построим график $y_2 = \sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6})$. Для этого преобразуем аргумент: $\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3})$. Это означает, что график $y_1$ нужно сдвинуть влево по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.
3. Построим график $y_3 = \sin|\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}|$. Этот график симметричен относительно вертикальной прямой $x = -\frac{\pi}{3}$. Для $x \ge -\frac{\pi}{3}$ он совпадает с графиком $y_2$. Часть графика для $x < -\frac{\pi}{3}$ является зеркальным отражением части для $x \ge -\frac{\pi}{3}$ относительно прямой $x = -\frac{\pi}{3}$.
4. Итоговый график $y = |y_3| = |\sin|\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}||$ получается из графика $y_3$ путем отражения всех его частей, лежащих ниже оси Ox, симметрично вверх относительно оси Ox.

Ответ: График функции является непериодическим, симметричным относительно прямой $x = -\frac{\pi}{3}$. Он полностью лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Минимальное значение функции равно 0 (достигается в точках $x = -\frac{\pi}{3} \pm 2n\pi$, где $n$ - целое неотрицательное число), максимальное значение равно 1.

2) Построение графика функции $y = |\cos|2x - \frac{\pi}{3}||$ выполняется путем последовательных преобразований графика $y = \cos(x)$.
1. Построим график $y_1 = \cos(2x)$. Это график $y = \cos(x)$, сжатый в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
2. Построим график $y_2 = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$. Преобразуем аргумент: $2x - \frac{\pi}{3} = 2(x - \frac{\pi}{6})$. Это означает, что график $y_1$ нужно сдвинуть вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.
3. Рассмотрим функцию $y_3 = \cos|2x - \frac{\pi}{3}|$. Так как функция косинус является четной, то есть $\cos(-u) = \cos(u)$ для любого $u$, то $\cos|2x - \frac{\pi}{3}| = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$. Следовательно, график $y_3$ полностью совпадает с графиком $y_2$.
4. Итоговый график $y = |y_3| = |\cos(2x - \frac{\pi}{3})|$ получается из графика $y_2$ путем отражения всех его частей, лежащих ниже оси Ox, симметрично вверх относительно оси Ox.

Ответ: График функции является периодическим с периодом $T = \frac{\pi}{2}$. Он полностью лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Минимальное значение функции равно 0, максимальное значение равно 1.

21.15. Постройте график функции:

1) $y = \left|\cos \left(2|x| - \frac{\pi}{3}\right)\right|$;

2) $y = \left|\sin \left(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6}\right)\right|$.

Для построения графика функции $y = |\cos(2|x| - \frac{\pi}{3})|$ выполним последовательность преобразований, исходя из графика базовой функции $y = \cos(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \cos(2x)$. Это сжатие графика $y = \cos(x)$ по горизонтали (к оси OY) в 2 раза. Период функции $T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
2. Построим график $y_2 = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$. Это можно представить как $y_2 = \cos(2(x - \frac{\pi}{6}))$. Данный график получается путем сдвига графика $y_1 = \cos(2x)$ вправо по оси OX на $\frac{\pi}{6}$.
3. Теперь рассмотрим функцию $y_3 = \cos(2|x| - \frac{\pi}{3})$. Эта функция является четной, так как $y_3(-x) = \cos(2|-x| - \frac{\pi}{3}) = \cos(2|x| - \frac{\pi}{3}) = y_3(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. Чтобы построить его, нужно:
   • Взять часть графика $y_2 = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$, которая соответствует $x \ge 0$.
   • Отразить эту часть симметрично относительно оси OY.
4. Наконец, построим итоговый график $y = |\cos(2|x| - \frac{\pi}{3})|$. Это преобразование означает, что все части графика $y_3$, которые находятся ниже оси OX (где $y_3 < 0$), нужно симметрично отразить вверх относительно оси OX. Части графика, где $y_3 \ge 0$, остаются без изменений.

Найдем некоторые ключевые точки для $x \ge 0$:

• При $x=0$, $y=|\cos(0 - \frac{\pi}{3})| = |\cos(-\frac{\pi}{3})| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Точка пересечения с осью OY: $(0, \frac{1}{2})$.
• Нули функции (точки пересечения с осью OX): $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$. Это происходит, когда $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$. Отсюда $2x = \frac{5\pi}{6} + \pi n$, и $x = \frac{5\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$. Для $x \ge 0$ получаем $x = \frac{5\pi}{12}, \frac{11\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}, \dots$
• Точки, в которых функция достигает максимального значения $y=1$: это происходит, когда $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$ или $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = -1$.
  Если $\cos(2x - \frac{\pi}{3})=1$, то $2x - \frac{\pi}{3} = 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \pi n$. Для $x \ge 0$: $x = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \dots$
  Если $\cos(2x - \frac{\pi}{3})=-1$, то $2x - \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} + \pi n$. Для $x \ge 0$: $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \dots$

Ответ: График функции строится путем последовательных преобразований: сжатие косинусоиды к оси OY в 2 раза, сдвиг вправо на $\frac{\pi}{6}$, отражение части графика для $x \ge 0$ относительно оси OY для получения четной функции, и, наконец, отражение всех отрицательных частей графика вверх относительно оси OX.

Построение этого графика также выполним с помощью последовательных преобразований, исходя из графика базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Построим график функции $y_1 = \sin(\frac{1}{2}x)$. Это растяжение графика $y = \sin(x)$ по горизонтали (от оси OY) в 2 раза. Период функции $T_1 = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
2. Построим график $y_2 = \sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6})$. Это можно представить как $y_2 = \sin(\frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3}))$. Данный график получается путем сдвига графика $y_1 = \sin(\frac{1}{2}x)$ влево по оси OX на $\frac{\pi}{3}$.
3. Далее строим график $y_3 = \sin(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6})$. Эта функция является четной, так как $y_3(-x) = \sin(\frac{1}{2}|-x| + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6}) = y_3(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY. Для построения:
   • Берем часть графика $y_2 = \sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6})$ для $x \ge 0$.
   • Отражаем эту часть симметрично относительно оси OY.
4. Последний шаг — построение графика $y = |\sin(\frac{1}{2}|x| + \frac{\pi}{6})|$. Все части графика $y_3$, находящиеся под осью OX, отражаются симметрично вверх относительно оси OX.

Найдем некоторые ключевые точки для $x \ge 0$:

• При $x=0$, $y=|\sin(0 + \frac{\pi}{6})| = |\sin(\frac{\pi}{6})| = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Точка пересечения с осью OY: $(0, \frac{1}{2})$.
• Нули функции: $\sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}) = 0$. Это происходит, когда $\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} = \pi n$, где $n \in Z$. Отсюда $\frac{1}{2}x = \pi n - \frac{\pi}{6}$, и $x = 2\pi n - \frac{\pi}{3}$. Для $x \ge 0$ получаем $x = \frac{5\pi}{3}$ (при n=1), $x = \frac{11\pi}{3}$ (при n=2), $\dots$
• Точки, в которых функция достигает максимального значения $y=1$: это происходит, когда $\sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}) = 1$ или $\sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}) = -1$.
  Если $\sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6})=1$, то $\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n$. Для $x \ge 0$: $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{14\pi}{3}, \dots$
  Если $\sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6})=-1$, то $\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n \implies x = \frac{8\pi}{3} + 4\pi n$. Для $x \ge 0$: $x = \frac{8\pi}{3}, \frac{20\pi}{3}, \dots$

Ответ: График функции строится путем последовательных преобразований: растяжение синусоиды от оси OY в 2 раза, сдвиг влево на $\frac{\pi}{3}$, отражение части графика для $x \ge 0$ относительно оси OY, и отражение всех отрицательных частей графика вверх относительно оси OX.

21.16. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{\sin x})^2$;

2) $y = \cos x + \sqrt{\cos^2 x}$;

3) $y = \sqrt{-\sin^2 x}$;

4) $y = \frac{\sin |x|}{\sin x}$;

5) $y = \frac{\sin x}{|\sin x|}$;

6) $y = \operatorname{tg} x |\cos x|$.

1) Для функции $y = (\sqrt{\sin x})^2$ сначала найдем область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $\sin x \ge 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, принадлежащих отрезкам $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
На этой области определения функция упрощается: $y = (\sqrt{\sin x})^2 = \sin x$.
Таким образом, график данной функции совпадает с графиком функции $y = \sin x$ на тех промежутках, где $\sin x \ge 0$, и не существует там, где $\sin x < 0$. Графически это представляет собой "арки" синусоиды, расположенные в верхней полуплоскости (включая точки на оси Ox).
Ответ: График функции — это совокупность частей графика $y=\sin x$ на промежутках вида $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2) Преобразуем функцию $y = \cos x + \sqrt{\cos^2 x}$. Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем $y = \cos x + |\cos x|$.
Далее рассмотрим два случая раскрытия модуля:
1. Если $\cos x \ge 0$, что соответствует $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = \cos x$. В этом случае функция принимает вид $y = \cos x + \cos x = 2\cos x$.
2. Если $\cos x < 0$, что соответствует $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = -\cos x$. В этом случае функция принимает вид $y = \cos x - \cos x = 0$.
Следовательно, график функции состоит из чередующихся фрагментов: "арок" графика $y=2\cos x$ (косинусоида с удвоенной амплитудой) и отрезков прямой $y=0$ на оси абсцисс.
Ответ: График функции задается кусочно: $y = 2\cos x$ при $\cos x \ge 0$ и $y = 0$ при $\cos x < 0$.

3) Для функции $y = \sqrt{-\sin^2 x}$ найдем область определения из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-\sin^2 x \ge 0$.
Умножив обе части на $-1$, получим $\sin^2 x \le 0$.
Поскольку квадрат любой величины всегда неотрицателен, т.е. $\sin^2 x \ge 0$, единственная возможность для выполнения обоих условий — это равенство $\sin^2 x = 0$.
Это равенство достигается, когда $\sin x = 0$, то есть при $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Таким образом, функция определена только в этих точках. Значение функции в этих точках равно $y = \sqrt{-0} = 0$.
Ответ: График функции представляет собой набор изолированных точек, лежащих на оси абсцисс: $(\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) Область определения функции $y = \frac{\sin|x|}{\sin x}$ задается условием, что знаменатель не равен нулю: $\sin x \ne 0$. Это означает, что $x \ne \pi k$ для любого целого $k$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция становится $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$. Это верно для всех $x > 0$, за исключением точек $x = \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$, где функция не определена.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Используя нечетность синуса ($\sin(-x) = -\sin x$), получаем $y = \frac{\sin(-x)}{\sin x} = \frac{-\sin x}{\sin x} = -1$. Это верно для всех $x < 0$, за исключением точек $x = -\pi, -2\pi, \dots$.
В точке $x=0$ функция также не определена.
Ответ: График состоит из двух горизонтальных лучей: луча $y=1$ для $x>0$ и луча $y=-1$ для $x<0$. На этих лучах выколоты все точки с абсциссами $x = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, $k \ne 0$.

5) Область определения функции $y = \frac{\sin x}{|\sin x|}$ такова, что знаменатель не должен быть равен нулю: $|\sin x| \ne 0$, что равносильно $\sin x \ne 0$. Следовательно, $x \ne \pi k$ для любого целого $k$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $\sin x$:
1. Если $\sin x > 0$, что происходит на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция принимает вид $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$.
2. Если $\sin x < 0$, что происходит на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция принимает вид $y = \frac{\sin x}{-\sin x} = -1$.
График представляет собой бесконечную последовательность горизонтальных интервалов, расположенных на уровнях $y=1$ и $y=-1$.
Ответ: График функции — это совокупность открытых интервалов: $y=1$ на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$ и $y=-1$ на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$ для всех $k \in \mathbb{Z}$.

6) Область определения функции $y = \operatorname{tg} x |\cos x|$ определяется областью определения тангенса, то есть $\cos x \ne 0$, откуда $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.
Заменим $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$: $y = \frac{\sin x}{\cos x} |\cos x|$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $\cos x > 0$, что происходит на интервалах $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция упрощается до $y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x$.
2. Если $\cos x < 0$, что происходит на интервалах $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция упрощается до $y = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot (-\cos x) = -\sin x$.
Таким образом, график состоит из чередующихся фрагментов синусоид $y=\sin x$ и $y=-\sin x$. В точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ функция не определена и имеет разрывы.
Ответ: График функции задается кусочно: $y = \sin x$ при $\cos x > 0$ и $y = -\sin x$ при $\cos x < 0$. Он представляет собой набор дуг синусоид с разрывами в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

21.17. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt{\cos x})^2;$

2) $y = \sin x - \sqrt{\sin^2 x};$

3) $y = \sqrt{\sin x - 1};$

4) $y = \frac{|\cos x|}{\cos x};$

5) $y = \operatorname{ctg} x |\sin x|;$

6) $y = \frac{\sin|x|}{|\sin x|}.$

1) $y = (\sqrt{\cos x})^2$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому $\cos x \geq 0$.
Это неравенство выполняется для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.
На области определения функции справедливо тождество $(\sqrt{a})^2 = a$. Следовательно, функцию можно упростить до $y = \cos x$.
Таким образом, график исходной функции совпадает с графиком функции $y = \cos x$ на тех промежутках, где $\cos x \geq 0$. График представляет собой совокупность "шапок" (арок) косинусоиды, расположенных на оси абсцисс и выше неё.

Ответ: Графиком функции является совокупность арок кривой $y = \cos x$ для $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $y = \sin x - \sqrt{\sin^2 x}$

Область определения функции — все действительные числа, так как $\sin^2 x \geq 0$ для любого $x$.
Используем свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда функция принимает вид: $y = \sin x - |\sin x|$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $\sin x \geq 0$, что соответствует $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция становится $y = \sin x - \sin x = 0$.
2. Если $\sin x < 0$, что соответствует $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция становится $y = \sin x - (-\sin x) = 2\sin x$.
График функции состоит из отрезков прямой $y=0$ на промежутках, где синус неотрицателен, и из частей графика $y=2\sin x$ (синусоида с удвоенной амплитудой), где синус отрицателен.

Ответ: График функции представляет собой совокупность отрезков оси абсцисс на промежутках $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$ и участков кривой $y=2\sin x$ на промежутках $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3) $y = \sqrt{\sin x - 1}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $\sin x - 1 \geq 0$, откуда $\sin x \geq 1$.
Поскольку мы знаем, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, то есть $\sin x \leq 1$ для любого $x$, единственная возможность для выполнения неравенства $\sin x \geq 1$ — это равенство $\sin x = 1$.
Это уравнение имеет решения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Для этих значений $x$ значение функции будет $y = \sqrt{1 - 1} = 0$.
Таким образом, область определения функции состоит из набора изолированных точек, и график функции также будет состоять из набора изолированных точек.

Ответ: График функции — это множество точек с координатами $(\frac{\pi}{2} + 2\pi k, 0)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4) $y = \frac{|\cos x|}{\cos x}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $\cos x \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Раскроем модуль, рассмотрев два случая:
1. Если $\cos x > 0$, что соответствует $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = \cos x$. Функция принимает вид $y = \frac{\cos x}{\cos x} = 1$.
2. Если $\cos x < 0$, что соответствует $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\cos x| = -\cos x$. Функция принимает вид $y = \frac{-\cos x}{\cos x} = -1$.
График представляет собой набор горизонтальных интервалов на уровнях $y=1$ и $y=-1$. Точки с абсциссами $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются точками разрыва (на графике они изображаются как выколотые точки).

Ответ: График функции — это совокупность интервалов: $y=1$ при $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$ и $y=-1$ при $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{3\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

5) $y = \operatorname{ctg} x |\sin x|$

Область определения функции: $\operatorname{ctg} x$ не определен, когда $\sin x = 0$, то есть при $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Заменим $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Функция примет вид: $y = \frac{\cos x}{\sin x} |\sin x|$.
Рассмотрим два случая:
1. Если $\sin x > 0$, что соответствует $x \in (2\pi k, \pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = \sin x$. Функция становится $y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x$.
2. Если $\sin x < 0$, что соответствует $x \in (\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$, то $|\sin x| = -\sin x$. Функция становится $y = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot (-\sin x) = -\cos x$.
График состоит из частей косинусоиды $y=\cos x$ на интервалах, где синус положителен, и частей графика $y=-\cos x$ (косинусоида, отраженная относительно оси Ox) на интервалах, где синус отрицателен. В точках $x = \pi k$ на графике будут выколотые точки.

Ответ: График функции совпадает с графиком $y=\cos x$ на интервалах $(2\pi k, \pi + 2\pi k)$ и с графиком $y=-\cos x$ на интервалах $(\pi + 2\pi k, 2\pi + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

6) $y = \frac{\sin|x|}{|\sin x|}$

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $|\sin x| \neq 0$, что равносильно $\sin x \neq 0$. Следовательно, $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$:
1. При $x > 0$, $|x|=x$, и функция $y = \frac{\sin x}{|\sin x|}$.
- Если $\sin x > 0$, то $y = \frac{\sin x}{\sin x} = 1$.
- Если $\sin x < 0$, то $y = \frac{\sin x}{-\sin x} = -1$.
2. При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция $y = \frac{\sin(-x)}{|\sin x|} = \frac{-\sin x}{|\sin x|}$ (т.к. синус - нечетная функция).
- Если $\sin x > 0$, то $y = \frac{-\sin x}{\sin x} = -1$.
- Если $\sin x < 0$, то $y = \frac{-\sin x}{-\sin x} = 1$.
График функции является кусочно-постоянным и состоит из интервалов на уровнях $y=1$ и $y=-1$.

Ответ: График функции представляет собой совокупность интервалов прямых. Для $x > 0$: $y=1$ при $\sin x > 0$ и $y=-1$ при $\sin x < 0$. Для $x < 0$: $y=1$ при $\sin x < 0$ и $y=-1$ при $\sin x > 0$. Точки $x=\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, являются точками разрыва.

21.18. Постройте график уравнения:

1) $\sin \pi(x^2 + y^2) = 0$;

2) $\sin x + \sin y = 2$.

1)

Данное уравнение: $ \sin(\pi(x^2 + y^2)) = 0 $.

Функция синус равна нулю, когда ее аргумент равен целому числу, умноженному на $ \pi $. То есть, $ \sin(\alpha) = 0 $ при $ \alpha = k\pi $, где $ k $ — любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

Применительно к нашему уравнению это означает:

$ \pi(x^2 + y^2) = k\pi $

Разделив обе части уравнения на $ \pi $, получим:

$ x^2 + y^2 = k $

Поскольку $ x^2 \ge 0 $ и $ y^2 \ge 0 $, их сумма $ x^2 + y^2 $ также должна быть неотрицательной. Следовательно, $ k $ может быть только целым неотрицательным числом: $ k \in \{0, 1, 2, 3, \ldots\} $.

Уравнение $ x^2 + y^2 = R^2 $ задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $ R $. В нашем случае $ R^2 = k $, значит $ R = \sqrt{k} $.

Рассмотрим различные значения $ k $:

• При $ k = 0 $, уравнение $ x^2 + y^2 = 0 $ имеет единственное решение $ x=0, y=0 $. Это точка — начало координат.
• При $ k = 1 $, уравнение $ x^2 + y^2 = 1 $ — это окружность с центром в начале координат и радиусом $ R = \sqrt{1} = 1 $.
• При $ k = 2 $, уравнение $ x^2 + y^2 = 2 $ — это окружность с центром в начале координат и радиусом $ R = \sqrt{2} $.
• При $ k = 3 $, уравнение $ x^2 + y^2 = 3 $ — это окружность с центром в начале координат и радиусом $ R = \sqrt{3} $.

И так далее для всех целых неотрицательных $ k $.

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой бесконечный набор концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусами $ \sqrt{k} $, где $ k = 0, 1, 2, 3, \ldots $ (включая точку (0,0) при k=0).

Ответ: Графиком уравнения является начало координат и бесконечное множество концентрических окружностей с центром в начале координат и радиусами $ R_k = \sqrt{k} $, где $ k $ — любое натуральное число ($ k \in \mathbb{N} $).

2)

Дано уравнение: $ \sin x + \sin y = 2 $.

Область значений функции синус — это отрезок $ [-1, 1] $. Это означает, что для любых действительных чисел $ x $ и $ y $ выполняются неравенства:

$ -1 \le \sin x \le 1 $

$ -1 \le \sin y \le 1 $

Сумма $ \sin x + \sin y $ может быть равна 2 только в том случае, когда каждое из слагаемых принимает свое максимальное возможное значение, равное 1.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$ \begin{cases} \sin x = 1 \\ \sin y = 1 \end{cases} $

Решим каждое уравнение по отдельности.

Уравнение $ \sin x = 1 $ имеет решения: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Уравнение $ \sin y = 1 $ имеет решения: $ y = \frac{\pi}{2} + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Таким образом, графиком исходного уравнения является множество всех точек $ (x, y) $ на координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют этим условиям. Эти точки образуют бесконечную решетку.

Ответ: Графиком уравнения является множество точек с координатами $ \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi m \right) $, где $ n $ и $ m $ — любые целые числа ($ n \in \mathbb{Z}, m \in \mathbb{Z} $).

21.19. Постройте график уравнения:

1) $\cos\pi(x^2 + y^2) = 1$;

2) $\cos x + \cos y = -2$.

1)

Рассмотрим уравнение $cos(\pi(x^2 + y^2)) = 1$.

Функция косинус равна единице, когда ее аргумент является четным кратным числа $\pi$. То есть, $\pi(x^2 + y^2) = 2\pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Разделив обе части уравнения на $\pi$, получим:

$x^2 + y^2 = 2k$.

Выражение $x^2 + y^2$ представляет собой квадрат расстояния от начала координат до точки $(x, y)$, поэтому оно не может быть отрицательным: $x^2 + y^2 \ge 0$.

Следовательно, $2k \ge 0$, что означает $k \ge 0$. Таким образом, $k$ может быть любым целым неотрицательным числом: $k = 0, 1, 2, 3, \ldots$.

Уравнение вида $x^2 + y^2 = R^2$ задает на плоскости окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.

В нашем случае $R^2 = 2k$, значит, радиус $R = \sqrt{2k}$.

Рассмотрим несколько значений $k$:

• При $k=0$ получаем $x^2 + y^2 = 0$. Этому уравнению удовлетворяет только одна точка — начало координат $(0, 0)$.
• При $k=1$ получаем $x^2 + y^2 = 2$. Это окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $\sqrt{2}$.
• При $k=2$ получаем $x^2 + y^2 = 4$. Это окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $2$.
• При $k=3$ получаем $x^2 + y^2 = 6$. Это окружность с центром в $(0, 0)$ и радиусом $\sqrt{6}$.

Таким образом, график исходного уравнения представляет собой бесконечный набор концентрических окружностей с центром в точке $(0, 0)$, включая и саму эту точку (как окружность нулевого радиуса).

Ответ: График уравнения представляет собой точку $(0,0)$ и бесконечный набор концентрических окружностей с центром в точке $(0,0)$ и радиусами $\sqrt{2k}$, где $k$ — любое натуральное число ($k=1, 2, 3, \ldots$).

2)

Рассмотрим уравнение $cos x + cos y = -2$.

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любых действительных чисел $x$ и $y$ выполняются неравенства: $-1 \le cos x \le 1$ и $-1 \le cos y \le 1$.

Сумма $cos x + cos y$ может быть равна $-2$ только в том единственном случае, когда каждое из слагаемых принимает свое минимально возможное значение, равное $-1$.

Следовательно, исходное уравнение равносильно системе двух уравнений:

$\begin{cases} \cos x = -1 \\ \cos y = -1 \end{cases}$

Решим каждое уравнение этой системы:

Уравнение $\cos x = -1$ имеет решения $x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $\cos y = -1$ имеет решения $y = \pi + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, графиком данного уравнения является множество всех точек на координатной плоскости, координаты которых имеют вид $(\pi + 2\pi n, \pi + 2\pi m)$, где $n$ и $m$ — любые целые числа. Эти точки образуют на плоскости бесконечную решетку.

Ответ: График уравнения представляет собой множество точек с координатами $(\pi + 2\pi n, \pi + 2\pi m)$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $m \in \mathbb{Z}$.

21.20. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $\cos\sqrt{a^2 - x^2} = 1$ имеет ровно восемь корней.

Исходное уравнение: $cos(\sqrt{a^2 - x^2}) = 1$.

Это уравнение равносильно тому, что аргумент косинуса равен $2\pi k$, где $k$ — целое число:
$\sqrt{a^2 - x^2} = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим ограничения на переменные и параметры:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $a^2 - x^2 \ge 0$, что означает $x^2 \le a^2$, или $-|a| \le x \le |a|$.
2. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому $\sqrt{a^2 - x^2} \ge 0$. Следовательно, $2\pi k \ge 0$, что означает $k$ должно быть неотрицательным целым числом: $k \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{a^2 - x^2} = 2\pi k$ в квадрат:
$a^2 - x^2 = (2\pi k)^2 = 4\pi^2k^2$.
Отсюда выразим $x^2$:
$x^2 = a^2 - 4\pi^2k^2$.

Проанализируем количество корней, которое дает это уравнение для каждого значения $k$:

• Если $a^2 - 4\pi^2k^2 > 0$, то $x^2$ имеет положительное значение, и мы получаем два различных корня: $x = \pm\sqrt{a^2 - 4\pi^2k^2}$.
• Если $a^2 - 4\pi^2k^2 = 0$, то $x^2 = 0$, и мы получаем один корень: $x = 0$.
• Если $a^2 - 4\pi^2k^2 < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

Нам нужно, чтобы исходное уравнение имело ровно восемь корней. Поскольку для каждого положительного значения $x^2$ мы получаем два корня ($x$ и $-x$), для получения восьми корней нам нужно, чтобы ровно четыре различных значения $k$ давали положительные значения для $x^2$.

Значения выражения $a^2 - 4\pi^2k^2$ уменьшаются с ростом $k$. Чтобы получить 8 корней, нам нужно, чтобы это выражение было строго положительным для четырех наименьших возможных значений $k$, то есть для $k=0, 1, 2, 3$. Для следующего значения $k=4$ выражение должно быть неположительным, чтобы не появились новые корни.

Таким образом, должны выполняться следующие условия:
1. Для $k=3$ выражение должно быть строго положительным (это автоматически обеспечит положительность и для $k=0, 1, 2$):
$a^2 - 4\pi^2(3^2) > 0$
$a^2 - 36\pi^2 > 0$
$a^2 > 36\pi^2$.

2. Для $k=4$ выражение должно быть неположительным:
$a^2 - 4\pi^2(4^2) \le 0$
$a^2 - 64\pi^2 \le 0$
$a^2 \le 64\pi^2$.

Проверим случай равенства $a^2 = 64\pi^2$. Если $a^2 = 64\pi^2$, то для $k=4$ мы получим $x^2 = 64\pi^2 - 64\pi^2 = 0$, что дает один корень $x=0$. Для $k=0, 1, 2, 3$ мы получим по два корня (всего 8). В сумме получится $8 + 1 = 9$ корней, что не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, равенство $a^2 = 64\pi^2$ нужно исключить.

Таким образом, система неравенств для $a^2$ принимает вид:
$\begin{cases} a^2 > 36\pi^2 \\ a^2 < 64\pi^2 \end{cases}$
что равносильно двойному неравенству $36\pi^2 < a^2 < 64\pi^2$.

Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем:
$6\pi < |a| < 8\pi$.

Это неравенство эквивалентно объединению двух интервалов:
$a \in (-8\pi, -6\pi) \cup (6\pi, 8\pi)$.

Ответ: $a \in (-8\pi, -6\pi) \cup (6\pi, 8\pi)$.