Страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.2. Какие из данных промежутков являются промежутками убывания функции $y = \cos x$:

1) $[ - \frac{5\pi}{2}; - \frac{3\pi}{2} ]$;

2) $[ -2\pi; -\pi ]$;

3) $[ - \frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} ]$;

4) $[ 6\pi; 7\pi ]?$

Функция $y = \cos x$ убывает на тех промежутках, где ее производная $y'$ неположительна, то есть $y' \le 0$.

Найдем производную функции: $y' = (\cos x)' = -\sin x$.

Решим неравенство $-\sin x \le 0$, что эквивалентно $\sin x \ge 0$.

Это неравенство выполняется для $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k$ - любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Следовательно, промежутки убывания функции $y = \cos x$ имеют вид $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим каждый из предложенных промежутков.

1) $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$

Рассмотрим поведение функции на этом отрезке. В точке $x = -\frac{5\pi}{2}$ значение функции $y = \cos(-\frac{5\pi}{2}) = \cos(\frac{5\pi}{2}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. В точке $x = -2\pi$, которая принадлежит данному промежутку, значение функции $y = \cos(-2\pi) = \cos(2\pi) = 1$. В точке $x = -\frac{3\pi}{2}$ значение функции $y = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Так как на отрезке $[-\frac{5\pi}{2}; -2\pi]$ функция возрастает (от 0 до 1), а на отрезке $[-2\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ убывает (от 1 до 0), то весь промежуток $[-\frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}]$ не является промежутком убывания.

Ответ: не является.

2) $[-2\pi; -\pi]$

Сравним данный промежуток с общей формулой промежутков убывания $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Если взять $k = -1$, то получим промежуток $[2\pi(-1), \pi + 2\pi(-1)] = [-2\pi, \pi - 2\pi] = [-2\pi, -\pi]$. Данный промежуток в точности совпадает с одним из промежутков убывания функции.

Ответ: является.

3) $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$

Рассмотрим поведение функции на этом отрезке. В точке $x = -\frac{\pi}{2}$ значение функции $y = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$. В точке $x = 0$ значение функции $y = \cos(0) = 1$. В точке $x = \frac{\pi}{2}$ значение функции $y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Так как на отрезке $[-\frac{\pi}{2}; 0]$ функция возрастает (от 0 до 1), а на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ убывает (от 1 до 0), то весь промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ не является промежутком убывания.

Ответ: не является.

4) $[6\pi; 7\pi]$

Сравним данный промежуток с общей формулой промежутков убывания $[2\pi k, \pi + 2\pi k]$. Если взять $k = 3$, то получим промежуток $[2\pi(3), \pi + 2\pi(3)] = [6\pi, \pi + 6\pi] = [6\pi, 7\pi]$. Данный промежуток в точности совпадает с одним из промежутков убывания функции.

Ответ: является.

21.3. Сравните:

1) $ \sin 20^{\circ} $ и $ \sin 21^{\circ} $;

2) $ \cos 20^{\circ} $ и $ \cos 21^{\circ} $;

3) $ \sin \frac{10\pi}{9} $ и $ \sin \frac{25\pi}{18} $;

4) $ \cos \frac{10\pi}{9} $ и $ \cos \frac{25\pi}{18} $;

5) $ \cos 5,1 $ и $ \cos 5 $;

6) $ \sin 2 $ и $ \sin 2,1 $.

1) sin 20° и sin 21°
Углы 20° и 21° принадлежат первой четверти, то есть интервалу $(0°; 90°)$. На этом интервале функция $y = \sin x$ возрастает. Поскольку $20° < 21°$, то и значения синусов будут в том же соотношении: $\sin 20° < \sin 21°$.
Ответ: $\sin 20° < \sin 21°$.

2) cos 20° и cos 21°
Углы 20° и 21° принадлежат первой четверти, то есть интервалу $(0°; 90°)$. На этом интервале функция $y = \cos x$ убывает. Поскольку $20° < 21°$, то для значений косинусов соотношение будет обратным: $\cos 20° > \cos 21°$.
Ответ: $\cos 20° > \cos 21°$.

3) sin $\frac{10\pi}{9}$ и sin $\frac{25\pi}{18}$
Приведем углы к общему знаменателю 18: $\frac{10\pi}{9} = \frac{20\pi}{18}$. Теперь сравним углы $\frac{20\pi}{18}$ и $\frac{25\pi}{18}$. Оба угла находятся в третьей четверти, так как $\pi = \frac{18\pi}{18}$ и $\frac{3\pi}{2} = \frac{27\pi}{18}$. Таким образом, $\pi < \frac{20\pi}{18} < \frac{25\pi}{18} < \frac{3\pi}{2}$. На интервале $(\pi; \frac{3\pi}{2})$ функция $y = \sin x$ убывает. Поскольку $\frac{20\pi}{18} < \frac{25\pi}{18}$, то для значений синусов соотношение будет обратным: $\sin \frac{20\pi}{18} > \sin \frac{25\pi}{18}$. Следовательно, $\sin \frac{10\pi}{9} > \sin \frac{25\pi}{18}$.
Ответ: $\sin \frac{10\pi}{9} > \sin \frac{25\pi}{18}$.

4) cos $\frac{10\pi}{9}$ и cos $\frac{25\pi}{18}$
Как и в предыдущем пункте, приведем углы к общему знаменателю: $\frac{10\pi}{9} = \frac{20\pi}{18}$. Оба угла, $\frac{20\pi}{18}$ и $\frac{25\pi}{18}$, находятся в третьей четверти $(\pi; \frac{3\pi}{2})$. На этом интервале функция $y = \cos x$ возрастает (значения меняются от -1 до 0). Поскольку $\frac{20\pi}{18} < \frac{25\pi}{18}$, то и значения косинусов будут в том же соотношении: $\cos \frac{20\pi}{18} < \cos \frac{25\pi}{18}$. Следовательно, $\cos \frac{10\pi}{9} < \cos \frac{25\pi}{18}$.
Ответ: $\cos \frac{10\pi}{9} < \cos \frac{25\pi}{18}$.

5) cos 5,1 и cos 5
Углы 5 и 5,1 даны в радианах. Определим, в какой четверти они находятся, используя приближенные значения: $\pi \approx 3,14$; $\frac{3\pi}{2} \approx 4,71$; $2\pi \approx 6,28$. Оба угла, 5 и 5,1, принадлежат интервалу $(\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$, то есть находятся в четвертой четверти. На этом интервале функция $y = \cos x$ возрастает. Поскольку $5 < 5,1$, то и значения косинусов будут в том же соотношении: $\cos 5 < \cos 5,1$.
Ответ: $\cos 5,1 > \cos 5$.

6) sin 2 и sin 2,1
Углы 2 и 2,1 даны в радианах. Определим, в какой четверти они находятся, используя приближенные значения: $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$; $\pi \approx 3,14$. Оба угла, 2 и 2,1, принадлежат интервалу $(\frac{\pi}{2}; \pi)$, то есть находятся во второй четверти. На этом интервале функция $y = \sin x$ убывает. Поскольку $2 < 2,1$, то для значений синусов соотношение будет обратным: $\sin 2 > \sin 2,1$.
Ответ: $\sin 2 > \sin 2,1$.

21.4. Сравните:

1) cos $\frac{\pi}{9}$ и cos $\frac{4\pi}{9}$;

2) sin $\frac{5\pi}{9}$ и sin $\frac{17\pi}{18}$;

3) sin $\left(-\frac{7\pi}{30}\right)$ и sin $\left(-\frac{3\pi}{10}\right)$;

4) cos $\frac{10\pi}{7}$ и cos $\frac{11\pi}{9}$.

1) Сравним $\cos\frac{\pi}{9}$ и $\cos\frac{4\pi}{9}$. Аргументы $\frac{\pi}{9}$ и $\frac{4\pi}{9}$ принадлежат промежутку $[0, \frac{\pi}{2}]$, на котором функция $y=\cos x$ является убывающей. Сравним аргументы: $\frac{\pi}{9} < \frac{4\pi}{9}$. Поскольку функция убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, следовательно, $\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{4\pi}{9}$.

Ответ: $\cos\frac{\pi}{9} > \cos\frac{4\pi}{9}$.

2) Сравним $\sin\frac{5\pi}{9}$ и $\sin\frac{17\pi}{18}$. Оба угла принадлежат промежутку $[\frac{\pi}{2}, \pi]$, на котором функция $y=\sin x$ является убывающей. Приведем аргументы к общему знаменателю: $\frac{5\pi}{9} = \frac{10\pi}{18}$. Так как $\frac{10\pi}{18} < \frac{17\pi}{18}$, а функция на этом промежутке убывает, то $\sin\frac{10\pi}{18} > \sin\frac{17\pi}{18}$, то есть $\sin\frac{5\pi}{9} > \sin\frac{17\pi}{18}$.

Ответ: $\sin\frac{5\pi}{9} > \sin\frac{17\pi}{18}$.

3) Сравним $\sin(-\frac{7\pi}{30})$ и $\sin(-\frac{3\pi}{10})$. Функция $y=\sin x$ является нечетной, поэтому $\sin(-x) = -\sin x$. Задача сводится к сравнению $-\sin\frac{7\pi}{30}$ и $-\sin\frac{3\pi}{10}$. Для этого сначала сравним $\sin\frac{7\pi}{30}$ и $\sin\frac{3\pi}{10}$. Оба угла $\frac{7\pi}{30}$ и $\frac{3\pi}{10}$ принадлежат промежутку $[0, \frac{\pi}{2}]$, на котором функция $y=\sin x$ возрастает. Сравним аргументы: $\frac{3\pi}{10} = \frac{9\pi}{30}$. Так как $\frac{7\pi}{30} < \frac{9\pi}{30}$, то $\sin\frac{7\pi}{30} < \sin\frac{9\pi}{30}$, или $\sin\frac{7\pi}{30} < \sin\frac{3\pi}{10}$. Умножив обе части неравенства на -1, получим: $-\sin\frac{7\pi}{30} > -\sin\frac{3\pi}{10}$. Следовательно, $\sin(-\frac{7\pi}{30}) > \sin(-\frac{3\pi}{10})$.

Ответ: $\sin(-\frac{7\pi}{30}) > \sin(-\frac{3\pi}{10})$.

4) Сравним $\cos\frac{10\pi}{7}$ и $\cos\frac{11\pi}{9}$. Оба угла, $\frac{10\pi}{7}$ и $\frac{11\pi}{9}$, принадлежат промежутку $[\pi, \frac{3\pi}{2}]$, на котором функция $y=\cos x$ является возрастающей. Сравним аргументы, приведя их к общему знаменателю 63: $\frac{10\pi}{7} = \frac{90\pi}{63}$ и $\frac{11\pi}{9} = \frac{77\pi}{63}$. Так как $\frac{90\pi}{63} > \frac{77\pi}{63}$, а функция на этом промежутке возрастает, то $\cos\frac{90\pi}{63} > \cos\frac{77\pi}{63}$, то есть $\cos\frac{10\pi}{7} > \cos\frac{11\pi}{9}$.

Ответ: $\cos\frac{10\pi}{7} > \cos\frac{11\pi}{9}$.

21.5. Постройте график функции:

1) $y = \sin \left|x + \frac{\pi}{4}\right|$; 2) $y = 2\cos \left|x - \frac{\pi}{3}\right|$.

1) $y = \sin\left|x + \frac{\pi}{4}\right|$

Для построения графика данной функции воспользуемся методом преобразования графиков. Построение можно разбить на следующие этапы:

1. Сначала построим график базовой функции $y = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1, проходящая через начало координат.
2. Далее построим график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$. Этот график получается из графика $y = \sin(x)$ сдвигом влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Точка $(0,0)$ переходит в точку $(-\frac{\pi}{4}, 0)$, максимум в $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{4}, 1)$.
3. Теперь построим искомый график $y = \sin\left|x + \frac{\pi}{4}\right|$. Общий метод построения графика функции $y=f(|x-a|)$ состоит в следующем:
   • Строится график функции $y=f(x-a)$.
   • Сохраняется та часть графика, которая лежит правее или на вертикальной прямой $x=a$ (то есть для $x \ge a$).
   • Эта сохраненная часть графика симметрично отражается относительно прямой $x=a$.
   Применительно к нашей задаче ($a = -\frac{\pi}{4}$):
   Мы берем график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$ и оставляем ту его часть, где $x + \frac{\pi}{4} \ge 0$, то есть $x \ge -\frac{\pi}{4}$. Затем эту часть графика симметрично отражаем относительно вертикальной прямой $x = -\frac{\pi}{4}$.

В результате график функции $y = \sin\left|x + \frac{\pi}{4}\right|$ будет симметричен относительно прямой $x = -\frac{\pi}{4}$. Справа от этой прямой он совпадает с синусоидой $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$, а слева является ее зеркальным отражением.

Ответ: График функции симметричен относительно вертикальной прямой $x = -\frac{\pi}{4}$. При $x \geq -\frac{\pi}{4}$ график совпадает с графиком функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$. При $x < -\frac{\pi}{4}$ график является зеркальным отражением части синусоиды для $x \geq -\frac{\pi}{4}$ относительно прямой $x = -\frac{\pi}{4}$. В точке $x = -\frac{\pi}{4}$ значение функции равно 0. Функция не является периодической.

2) $y = 2\cos\left|x - \frac{\pi}{3}\right|$

Построение этого графика выполним аналогично, по шагам:

1. Строим график функции $y = \cos(x)$.
2. Строим график $y = 2\cos(x)$. Он получается из графика $y = \cos(x)$ растяжением в 2 раза вдоль оси Oy. Амплитуда колебаний становится равной 2, а область значений $[-2, 2]$.
3. Далее строим график $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$. Этот график получается из графика $y = 2\cos(x)$ сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$. Максимум функции, равный 2, будет в точке $x = \frac{\pi}{3}$.
4. Наконец, строим искомый график $y = 2\cos\left|x - \frac{\pi}{3}\right|$. Для этого, согласно общему правилу, мы берем построенный на предыдущем шаге график $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$, оставляем ту его часть, где $x - \frac{\pi}{3} \ge 0$ (то есть $x \ge \frac{\pi}{3}$), и симметрично отражаем эту часть относительно вертикальной прямой $x = \frac{\pi}{3}$.

В результате график функции $y = 2\cos\left|x - \frac{\pi}{3}\right|$ будет симметричен относительно прямой $x = \frac{\pi}{3}$. Справа от этой прямой он совпадает с графиком $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$, а слева является его зеркальным отражением.

Ответ: График функции симметричен относительно вертикальной прямой $x = \frac{\pi}{3}$. При $x \ge \frac{\pi}{3}$ он совпадает с графиком функции $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$. В точке $x = \frac{\pi}{3}$ функция достигает своего максимума, равного 2. Минимумы, равные -2, достигаются, например, в точках $x = \frac{4\pi}{3}$ (справа от оси симметрии) и $x = -\frac{2\pi}{3}$ (слева от оси симметрии). Функция не является периодической.

21.6. Постройте график функции:

1) $y=2\sin\left|x+\frac{\pi}{6}\right|$;

2) $y=-\cos\left|x-\frac{\pi}{4}\right|$.

1) $y = 2\sin\left|x + \frac{\pi}{6}\right|$

Построение графика этой функции выполняется путем последовательных преобразований графика базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Построение графика $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$:
   • Начнем с графика $y = \sin(x)$.
   • Растянем его от оси Ox (вдоль оси Oy) в 2 раза. Получим график $y = 2\sin(x)$. Амплитуда функции станет равной 2, а область значений [-2; 2].
   • Сдвинем полученный график влево по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$. Получим график функции $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.
2. Применение модуля к аргументу: построение $y = 2\sin\left|x + \frac{\pi}{6}\right|$:

   Чтобы построить график функции вида $y = f(|x-a|)$ из графика $y = f(x-a)$, необходимо:

   1. Часть графика $y = f(x-a)$, для которой $x \ge a$, оставить без изменений.
   2. Эту же часть (где $x \ge a$) симметрично отразить относительно вертикальной прямой $x = a$ на область $x < a$.

   В нашем случае $a = -\frac{\pi}{6}$. Следовательно, для построения графика $y = 2\sin\left|x + \frac{\pi}{6}\right|$:

   • Берем график $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$, построенный на шаге 1.
   • Оставляем без изменений часть этого графика, где $x \ge -\frac{\pi}{6}$.
   • Отражаем эту часть симметрично относительно прямой $x = -\frac{\pi}{6}$.

Алгебраически это означает, что график состоит из двух частей:
$y = \begin{cases} 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right), & \text{при } x \ge -\frac{\pi}{6} \\ 2\sin\left(-\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\right), & \text{при } x < -\frac{\pi}{6} \end{cases}$
Так как синус — нечетная функция ($\sin(-t) = -\sin(t)$), второе условие преобразуется к виду $y = -2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$.

Ответ: График функции $y = 2\sin\left|x + \frac{\pi}{6}\right|$ получается из графика $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ путем сохранения его части при $x \ge -\frac{\pi}{6}$ и симметричного отражения этой части относительно вертикальной прямой $x = -\frac{\pi}{6}$.

2) $y = -\cos\left|x - \frac{\pi}{4}\right|$

Для анализа и построения этой функции воспользуемся свойством четности функции косинус.

Функция косинус является четной, то есть для любого аргумента $t$ выполняется равенство $\cos(-t) = \cos(t)$. Это означает, что $\cos|t| = \cos(t)$.
В нашем случае аргументом является $t = x - \frac{\pi}{4}$. Применяя свойство четности, получаем:
$\cos\left|x - \frac{\pi}{4}\right| = \cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y = -\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$. Модуль в данном случае не меняет вид функции.

Построение графика $y = -\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$ выполняется в несколько шагов:

1. Строим график базовой функции $y = \cos(x)$.
2. Отражаем его симметрично относительно оси абсцисс (оси Ox). Получаем график $y = -\cos(x)$.
3. Сдвигаем полученный график вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Это и есть искомый график $y = -\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

Ответ: График функции $y = -\cos\left|x - \frac{\pi}{4}\right|$ совпадает с графиком функции $y = -\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$. Он получается из графика $y = \cos(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox и последующего сдвига вправо на $\frac{\pi}{4}$.

21.7. Постройте график функции $y = \sin \left(|x| - \frac{\pi}{4}\right)$.

Для построения графика функции $y = \sin(|x| - \frac{\pi}{4})$ выполним последовательность преобразований графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Построение будет состоять из следующих шагов:

1. Построение графика функции $y_1 = \sin(x)$.
2. Преобразование его в график функции $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{4})$ путем сдвига.
3. Получение итогового графика $y = \sin(|x| - \frac{\pi}{4})$ из графика $y_2$ с помощью преобразования, связанного с модулем аргумента.

Шаг 1: График функции $y_1 = \sin(x)$

Строим график стандартной синусоиды. Это периодическая функция с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. График проходит через начало координат, достигает максимума (значение 1) в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и минимума (значение -1) в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Шаг 2: График функции $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{4})$

График этой функции получается из графика $y_1 = \sin(x)$ сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Все ключевые точки графика смещаются на $\frac{\pi}{4}$ вправо. Например, точка (0, 0) переходит в $(\frac{\pi}{4}, 0)$, максимум из точки $x = \frac{\pi}{2}$ смещается в точку $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Шаг 3: График функции $y = \sin(|x| - \frac{\pi}{4})$

Данная функция является четной, поскольку $y(-x) = \sin(|-x| - \frac{\pi}{4}) = \sin(|x| - \frac{\pi}{4}) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).

Правило построения графика функции вида $y = f(|x|)$ на основе графика функции $y = f(x)$ заключается в следующем:

• Часть графика $y = f(x)$ для $x \ge 0$ сохраняется без изменений.
• Часть графика $y = f(x)$ для $x < 0$ удаляется.
• Сохраненная часть (для $x \ge 0$) отражается симметрично относительно оси Oy, и это отражение составляет часть графика для $x < 0$.

Применяя это правило к графику $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{4})$, мы получаем:

• Для $x \ge 0$, график искомой функции $y = \sin(|x| - \frac{\pi}{4})$ совпадает с графиком $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{4})$. Эта часть графика начинается в точке $(0, \sin(0 - \frac{\pi}{4})) = (0, \sin(-\frac{\pi}{4})) = (0, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
• Для $x < 0$, график является зеркальным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси Oy.

В точке $x = 0$ график имеет излом (острый угол), так как касательные к графику слева и справа от этой точки имеют разный наклон (производные $y'(0-)$ и $y'(0+)$ не равны).

Ответ: График функции $y = \sin(|x| - \frac{\pi}{4})$ симметричен относительно оси Oy. Он строится следующим образом: сначала строится график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{4})$ (синусоида, сдвинутая вправо на $\frac{\pi}{4}$), затем часть этого графика, соответствующая $x \ge 0$, оставляется, а часть для $x < 0$ заменяется на симметричное отражение оставленной части относительно оси Oy. В точке $(0, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ график имеет излом.

21.8. Постройте график функции $y = 2\cos\left(|x| - \frac{\pi}{3}\right) - 1$.

Для построения графика функции $y = 2\cos(|x| - \frac{\pi}{3}) - 1$ выполним последовательность преобразований, начиная с базового графика функции $y = \cos(x)$.

1. Построение графика функции $y_1 = \cos(x)$
Начнем с графика стандартной косинусоиды. Это периодическая функция с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Область значений функции: $[-1, 1]$. Ключевые точки: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$.

2. Построение графика функции $y_2 = \cos(x - \frac{\pi}{3})$
Этот график получается из графика $y_1$ сдвигом вправо вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{3}$. Максимум функции, который был в точке $(0, 1)$, теперь находится в точке $(\frac{\pi}{3}, 1)$.

3. Построение графика функции $y_3 = \cos(|x| - \frac{\pi}{3})$
Данное преобразование ($f(x) \to f(|x|)$) делает функцию четной, то есть ее график становится симметричным относительно оси ординат (Oy). Для построения графика $y_3$ мы берем ту часть графика $y_2$, которая находится при $x \ge 0$, и отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Часть графика $y_2$ при $x < 0$ отбрасывается.

4. Построение графика функции $y_4 = 2\cos(|x| - \frac{\pi}{3})$
Умножаем значение функции $y_3$ на 2. Это приводит к растяжению графика вдоль оси Oy в 2 раза. Амплитуда колебаний увеличивается до 2. Область значений становится $[-2, 2]$. Максимальные значения функции теперь равны 2, а минимальные – -2. Точка пересечения с осью Oy, которая была $(0, \cos(-\frac{\pi}{3}))=(0, \frac{1}{2})$, становится $(0, 2 \cdot \frac{1}{2}) = (0, 1)$.

5. Построение графика функции $y = 2\cos(|x| - \frac{\pi}{3}) - 1$
Это финальный шаг. Сдвигаем график $y_4$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.
В результате этих преобразований получаем следующие свойства итогового графика:
- Область значений: $[-2-1, 2-1] = [-3, 1]$.
- Максимумы графика равны 1 и достигаются при $|x| - \frac{\pi}{3} = 2\pi k$ ($k$ — целое, $k \ge 0$), то есть при $x = \pm(\frac{\pi}{3} + 2\pi k)$. Ближайшие к центру максимумы: $(\frac{\pi}{3}, 1)$ и $(-\frac{\pi}{3}, 1)$.
- Минимумы графика равны -3 и достигаются при $|x| - \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi k$ ($k$ — целое, $k \ge 0$), то есть при $x = \pm(\frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$. Ближайшие к центру минимумы: $(\frac{4\pi}{3}, -3)$ и $(-\frac{4\pi}{3}, -3)$.
- Пересечение с осью Oy: при $x=0$ имеем $y = 2\cos(|0| - \frac{\pi}{3}) - 1 = 2\cos(-\frac{\pi}{3}) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2\cos(|x| - \frac{\pi}{3}) - 1$ строится путем последовательных преобразований графика $y=\cos(x)$: сдвиг вправо на $\frac{\pi}{3}$, затем симметричное отражение части графика при $x \ge 0$ относительно оси Oy, затем растяжение в 2 раза вдоль оси Oy и, наконец, сдвиг вниз на 1. Итоговый график является четной функцией, симметричной относительно оси Oy, проходит через начало координат, имеет область значений $[-3, 1]$.

21.9. Постройте график функции $y = 2\sin \left( 2x + \frac{\pi}{3} \right) - 1$.

Для построения графика функции $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$ выполним последовательные преобразования, начиная с графика базовой функции $y = \sin(x)$.

1. Построение графика $y = \sin(x)$

   Начнем с графика стандартной синусоиды. Это периодическая функция с периодом $2\pi$, амплитудой 1 и областью значений $[-1, 1]$.

2. Преобразование в $y = \sin(2x)$

   Это преобразование соответствует сжатию графика $y = \sin(x)$ по горизонтали (вдоль оси Ox) в 2 раза. Период функции уменьшается в 2 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.

3. Преобразование в $y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})$

   Вынесем коэффициент 2 за скобки в аргументе синуса, чтобы определить фазовый сдвиг: $y = \sin(2(x + \frac{\pi}{6}))$. Это соответствует сдвигу графика $y = \sin(2x)$ влево по оси Ox на величину $\frac{\pi}{6}$.

4. Преобразование в $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3})$

   Умножение функции на 2 приводит к ее растяжению по вертикали (вдоль оси Oy) в 2 раза. Амплитуда колебаний увеличивается до 2. Область значений становится $[-2, 2]$.

5. Преобразование в $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$

   Вычитание 1 из функции сдвигает весь график вниз по оси Oy на 1 единицу. Средняя линия графика смещается с $y=0$ на $y=-1$. Область значений становится $[-2-1, 2-1]$, то есть $[-3, 1]$.

Свойства и ключевые точки итоговой функции

Функция $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$ имеет следующие характеристики:

• Амплитуда: $A = 2$
• Период: $T = \pi$
• Фазовый сдвиг: $-\frac{\pi}{6}$ (влево)
• Вертикальный сдвиг: $-1$ (вниз)
• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$
• Область значений: $E(y) = [-3; 1]$

Для построения одного периода графика найдем ключевые точки. Один цикл синусоиды начинается, когда ее аргумент равен 0, и заканчивается, когда аргумент равен $2\pi$.

График функции

Ниже представлен график функции $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$, построенный на основе выполненных преобразований и ключевых точек.

Ответ:

График функции $y = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) - 1$ — это синусоида, полученная из графика $y = \sin(x)$ путем сжатия по горизонтали в 2 раза, сдвига влево на $\frac{\pi}{6}$, растяжения по вертикали в 2 раза и сдвига вниз на 1. График представлен на рисунке выше.

21.10. Постройте график функции $y = -3\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right) + 2.$

Для построения графика функции $y = -3\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) + 2$ выполним последовательность преобразований, исходя из базового графика функции $y = \sin(x)$.

1. Построим график базовой функции $y_1 = \sin(x)$. Это синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1, проходящая через начало координат.

2. Далее, выполним растяжение графика вдоль оси Ox в 2 раза. Это соответствует замене аргумента $x$ на $\frac{x}{2}$. Получим функцию $y_2 = \sin(\frac{x}{2})$. Ее период будет равен $T = 2\pi \cdot 2 = 4\pi$.

3. Следующим шагом выполним сдвиг графика вправо вдоль оси Ox. Для этого представим аргумент синуса в виде $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})$. Это означает, что сдвиг происходит на $\frac{\pi}{3}$ вправо. Получаем функцию $y_3 = \sin(\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{3})) = \sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})$.

4. Теперь умножим функцию на -3. Это преобразование включает в себя два действия: растяжение графика вдоль оси Oy в 3 раза (амплитуда колебаний станет равна 3) и его отражение относительно оси Ox (из-за знака "минус"). Получим функцию $y_4 = -3\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})$. Область значений этой функции $[-3, 3]$.

5. Наконец, прибавим 2, чтобы выполнить сдвиг графика вверх на 2 единицы. Получаем искомую функцию $y = -3\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) + 2$. Ось симметрии графика (средняя линия) теперь проходит через $y=2$, а область значений функции становится $[2-3, 2+3]$, то есть $[-1, 5]$.

Для точного построения графика найдем ключевые точки на одном периоде. Период функции $T = 4\pi$.
- Начало "отраженного" периода (пересечение средней линии $y=2$ при движении вниз) соответствует аргументу синуса, равному 0: $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = 0 \implies \frac{x}{2} = \frac{\pi}{6} \implies x = \frac{\pi}{3}$. Получаем точку $(\frac{\pi}{3}, 2)$.
- Точка минимума достигается, когда синус равен 1 (так как коэффициент -3): $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} \implies \frac{x}{2} = \frac{2\pi}{3} \implies x = \frac{4\pi}{3}$. Значение $y = -3(1) + 2 = -1$. Получаем точку $(\frac{4\pi}{3}, -1)$.
- Середина периода (пересечение средней линии $y=2$ при движении вверх) соответствует аргументу синуса, равному $\pi$: $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \pi \implies \frac{x}{2} = \frac{7\pi}{6} \implies x = \frac{7\pi}{3}$. Получаем точку $(\frac{7\pi}{3}, 2)$.
- Точка максимума достигается, когда синус равен -1: $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} \implies \frac{x}{2} = \frac{5\pi}{3} \implies x = \frac{10\pi}{3}$. Значение $y = -3(-1) + 2 = 5$. Получаем точку $(\frac{10\pi}{3}, 5)$.
- Конец периода соответствует аргументу синуса, равному $2\pi$: $\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6} = 2\pi \implies \frac{x}{2} = \frac{13\pi}{6} \implies x = \frac{13\pi}{3}$. Получаем точку $(\frac{13\pi}{3}, 2)$.
Соединяя эти точки плавной кривой, получаем график функции на одном периоде $[\frac{\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}]$. Далее график периодически повторяется.

Ответ: График функции $y = -3\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) + 2$ является синусоидой, которая получена из графика $y = \sin(x)$ путем следующих преобразований: растяжение в 2 раза по оси Ox, сдвиг на $\frac{\pi}{3}$ вправо, растяжение в 3 раза по оси Oy с отражением относительно оси Ox, и сдвиг на 2 единицы вверх. Период функции $4\pi$, область значений $[-1, 5]$.

21.11. Постройте график функции:

1) $y = 2\cos|3x + 2|$;

2) $y = -2\sin\left(\frac{1}{2}|x| - 1\right)$.

1) $y = 2\cos|3x + 2|$

Для построения графика данной функции сначала проанализируем выражение под знаком функции. Функция косинус является четной, то есть для любого значения аргумента $u$ справедливо равенство $\cos(-u) = \cos(u)$.

Рассмотрим аргумент нашей функции, $|3x + 2|$.

• Если $3x+2 \ge 0$ (то есть $x \ge -2/3$), то $|3x+2| = 3x+2$.
• Если $3x+2 < 0$ (то есть $x < -2/3$), то $|3x+2| = -(3x+2)$.

Следовательно, значение функции $\cos|3x+2|$ будет:

• $\cos(3x+2)$, если $x \ge -2/3$.
• $\cos(-(3x+2))$, если $x < -2/3$.

Так как $\cos(-(3x+2)) = \cos(3x+2)$ в силу четности функции косинуса, мы можем заключить, что $\cos|3x+2| = \cos(3x+2)$ для всех действительных значений $x$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = 2\cos(3x+2)$. Построение этого графика можно выполнить с помощью последовательных преобразований графика базовой функции $y = \cos(x)$.

1. Начнем с графика $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.
2. Применим горизонтальное сжатие. Функция $y = \cos(3x)$ получается сжатием графика $y = \cos(x)$ к оси OY в 3 раза. Период функции уменьшается в 3 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{3}$.
3. Выполним горизонтальный сдвиг. Аргумент можно записать как $3x+2 = 3(x + 2/3)$. Это означает, что график $y = \cos(3x)$ нужно сдвинуть влево вдоль оси OX на $2/3$. В результате получаем график функции $y = \cos(3x+2)$.
4. Применим вертикальное растяжение. Умножение функции на 2, то есть $y = 2\cos(3x+2)$, растягивает график вдоль оси OY в 2 раза. Амплитуда колебаний становится равной 2, а область значений функции — отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: График функции $y = 2\cos|3x + 2|$ полностью совпадает с графиком функции $y = 2\cos(3x+2)$. Это косинусоида с амплитудой 2, периодом $T = \frac{2\pi}{3}$ и сдвигом влево на $2/3$ относительно графика $y = 2\cos(3x)$.

2) $y = -2\sin\left(\frac{1}{2}|x| - 1\right)$

Данная функция является четной, поскольку аргумент зависит от $|x|$. Проверим это: $y(-x) = -2\sin\left(\frac{1}{2}|-x| - 1\right) = -2\sin\left(\frac{1}{2}|x| - 1\right) = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (OY).

Это свойство позволяет нам построить график в два этапа: сначала построить его для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить полученную часть относительно оси OY, чтобы получить полный график.

Шаг 1: Построение графика для $x \ge 0$.

При $x \ge 0$ модуль раскрывается как $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -2\sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)$.

Построим этот график с помощью последовательных преобразований, начиная с $y = \sin(x)$:

1. Строим график базовой функции $y = \sin(x)$.
2. Растягиваем его по горизонтали от оси OY в 2 раза. Получаем график $y = \sin(\frac{1}{2}x)$. Период этой функции становится $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
3. Сдвигаем полученный график вправо вдоль оси OX. Для определения величины сдвига представим аргумент в виде $\frac{1}{2}x - 1 = \frac{1}{2}(x - 2)$. Сдвиг осуществляется на 2 единицы вправо. Получаем график функции $y = \sin\left(\frac{1}{2}(x - 2)\right) = \sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)$.
4. Растягиваем график по вертикали от оси OX в 2 раза. Получаем $y = 2\sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)$. Амплитуда становится равной 2, область значений — $[-2, 2]$.
5. Отражаем полученный график симметрично относительно оси OX из-за знака "минус" перед функцией. Получаем график $y = -2\sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)$. Это и есть часть искомого графика для $x \ge 0$.

Шаг 2: Построение полного графика.

Мы построили график для $x \ge 0$. Чтобы получить полный график исходной функции $y = -2\sin\left(\frac{1}{2}|x| - 1\right)$, нужно отразить построенную часть симметрично относительно оси OY. Объединение этих двух частей (для $x \ge 0$ и для $x < 0$) и будет искомым графиком.

Ответ: График функции является четным и симметричен относительно оси OY. Для его построения сначала строится график функции $y = -2\sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)$ для $x \ge 0$. Это синусоида, отраженная относительно оси OX, с амплитудой 2, периодом $4\pi$ и сдвигом на 2 единицы вправо. Затем эта часть графика отражается симметрично относительно оси OY для получения второй половины графика при $x < 0$.

21.12. Постройте график функции:

1) $y = 3\sin|2x - 1|;$

2) $y = \frac{1}{2}\cos\left(2|x| + \frac{\pi}{3}\right).$

1) $y = 3\sin|2x - 1|$

Для построения графика функции $y = 3\sin|2x - 1|$ выполним последовательность преобразований, основанных на анализе выражения $|2x - 1|$.

Выражение $|2x - 1|$ означает, что функция будет симметрична относительно прямой $x=1/2$, так как для любой точки $x = 1/2 + \delta$ и симметричной ей точки $x = 1/2 - \delta$ значения аргумента синуса будут одинаковы: $|2(1/2 \pm \delta) - 1| = |1 \pm 2\delta - 1| = |\pm 2\delta| = |2\delta|$.

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. Сначала строим график функции $y_1 = 3\sin(2x-1)$ для той области, где модуль раскрывается просто, то есть для $2x-1 \ge 0$, что соответствует $x \ge 1/2$.
2. График функции $y_1 = 3\sin(2x-1)$ — это синусоида, полученная из $y=\sin x$ следующими преобразованиями:
   • Сжатие по оси Ox в 2 раза (период становится $T=\pi$).
   • Сдвиг вправо на $1/2$.
   • Растяжение по оси Oy в 3 раза (амплитуда становится 3).
3. Оставляем ту часть графика $y_1$, которая соответствует $x \ge 1/2$.
4. Отражаем эту часть графика симметрично относительно вертикальной прямой $x=1/2$, чтобы получить часть графика для $x < 1/2$.

Ключевые точки для построения графика $y_1 = 3\sin(2x-1)$ при $x \ge 1/2$:

• $x=1/2 \Rightarrow y = 3\sin(0) = 0$. (Точка на оси симметрии)
• $x=1/2 + \pi/4 \Rightarrow y = 3\sin(\pi/2) = 3$. (Максимум)
• $x=1/2 + \pi/2 \Rightarrow y = 3\sin(\pi) = 0$. (Нуль)
• $x=1/2 + 3\pi/4 \Rightarrow y = 3\sin(3\pi/2) = -3$. (Минимум)
• $x=1/2 + \pi \Rightarrow y = 3\sin(2\pi) = 0$. (Нуль)

В результате объединения построенной части для $x \ge 1/2$ и ее зеркального отражения получается итоговый график.

Ответ: График функции симметричен относительно прямой $x=1/2$. Он строится путем построения графика функции $y=3\sin(2x-1)$ для $x \ge 1/2$ и его последующего симметричного отражения относительно прямой $x=1/2$.

2) $y = \frac{1}{2}\cos\left(2|x| + \frac{\pi}{3}\right)$

Данная функция является четной, так как замена $x$ на $-x$ не изменяет ее значения: $y(-x) = \frac{1}{2}\cos\left(2|-x| + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\cos\left(2|x| + \frac{\pi}{3}\right) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.

Поэтому для построения графика достаточно выполнить следующие шаги:

1. Построить график функции для $x \ge 0$. В этой области $|x| = x$, и функция принимает вид $y_1 = \frac{1}{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$.
2. Отразить полученную часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить полный график.

График функции $y_1 = \frac{1}{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$ — это косинусоида, полученная из $y=\cos x$ преобразованиями:

• Сжатие по оси Ox в 2 раза (период становится $T=\pi$).
• Сдвиг влево на $\pi/6$ (аргумент можно записать как $2(x+\pi/6)$).
• Сжатие по оси Oy в 2 раза (амплитуда становится $1/2$).

Найдем ключевые точки для $y_1$ при $x \ge 0$:

• $x=0$: $y = \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Точка $(0, 1/4)$ является точкой излома на итоговом графике.
• Нули функции ($y=0$): $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$. Для $x \ge 0$ получаем $x=\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \dots$
• Минимумы ($y=-1/2$): $2x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi k$. Для $x \ge 0$ получаем $x=\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \dots$
• Максимумы ($y=1/2$): $2x + \frac{\pi}{3} = 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$. Для $x \ge 0$ получаем $x=\frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \dots$

Строим по этим точкам график для $x \ge 0$ и симметрично отражаем его относительно оси OY.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{2}\cos(2x + \frac{\pi}{3})$. Часть графика для $x < 0$ получается симметричным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси OY.

21.13. Возможно ли равенство:

1) $ \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ $;

2) $ \sin \alpha = \sqrt{2} \cos 35^\circ $?

1) cos α = 2sin 25°

Для того чтобы равенство было возможным, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции косинус, то есть промежутку $[-1; 1]$. Проверим, выполняется ли условие $-1 \le 2\sin 25^\circ \le 1$.

Угол $25^\circ$ находится в первой четверти, где синус положителен. Рассмотрим известное значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

На промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция синус возрастает. Так как $25^\circ < 30^\circ$, то и $\sin 25^\circ < \sin 30^\circ$.

Следовательно, $\sin 25^\circ < \frac{1}{2}$.

Умножим обе части неравенства на 2:

$2\sin 25^\circ < 2 \cdot \frac{1}{2}$

$2\sin 25^\circ < 1$

Поскольку $\sin 25^\circ > 0$, то $2\sin 25^\circ > 0$. Таким образом, мы имеем двойное неравенство: $0 < 2\sin 25^\circ < 1$.

Значение $2\sin 25^\circ$ принадлежит интервалу $(0; 1)$, который входит в область значений косинуса $[-1; 1]$. Значит, существует такой угол $\alpha$, для которого данное равенство выполняется.

Ответ: да, возможно.

2) sin α = √2cos 35°

Для того чтобы равенство было возможным, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции синус, то есть промежутку $[-1; 1]$. Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \sqrt{2}\cos 35^\circ \le 1$.

Угол $35^\circ$ находится в первой четверти, где косинус положителен. Рассмотрим известное значение $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

На промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция косинус убывает. Так как $35^\circ < 45^\circ$, то $\cos 35^\circ > \cos 45^\circ$.

Следовательно, $\cos 35^\circ > \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Умножим обе части неравенства на $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2}\cos 35^\circ > \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{2}\cos 35^\circ > 1$

Значение выражения $\sqrt{2}\cos 35^\circ$ больше 1. Так как область значений функции синус — это промежуток $[-1; 1]$, не существует такого угла $\alpha$, для которого $\sin \alpha$ был бы больше 1.

Ответ: нет, невозможно.