Номер 21.12, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.12. Постройте график функции:

1) $y = 3\sin|2x - 1|;$

2) $y = \frac{1}{2}\cos\left(2|x| + \frac{\pi}{3}\right).$

1) $y = 3\sin|2x - 1|$

Для построения графика функции $y = 3\sin|2x - 1|$ выполним последовательность преобразований, основанных на анализе выражения $|2x - 1|$.

Выражение $|2x - 1|$ означает, что функция будет симметрична относительно прямой $x=1/2$, так как для любой точки $x = 1/2 + \delta$ и симметричной ей точки $x = 1/2 - \delta$ значения аргумента синуса будут одинаковы: $|2(1/2 \pm \delta) - 1| = |1 \pm 2\delta - 1| = |\pm 2\delta| = |2\delta|$.

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. Сначала строим график функции $y_1 = 3\sin(2x-1)$ для той области, где модуль раскрывается просто, то есть для $2x-1 \ge 0$, что соответствует $x \ge 1/2$.
2. График функции $y_1 = 3\sin(2x-1)$ — это синусоида, полученная из $y=\sin x$ следующими преобразованиями:
   • Сжатие по оси Ox в 2 раза (период становится $T=\pi$).
   • Сдвиг вправо на $1/2$.
   • Растяжение по оси Oy в 3 раза (амплитуда становится 3).
3. Оставляем ту часть графика $y_1$, которая соответствует $x \ge 1/2$.
4. Отражаем эту часть графика симметрично относительно вертикальной прямой $x=1/2$, чтобы получить часть графика для $x < 1/2$.

Ключевые точки для построения графика $y_1 = 3\sin(2x-1)$ при $x \ge 1/2$:

• $x=1/2 \Rightarrow y = 3\sin(0) = 0$. (Точка на оси симметрии)
• $x=1/2 + \pi/4 \Rightarrow y = 3\sin(\pi/2) = 3$. (Максимум)
• $x=1/2 + \pi/2 \Rightarrow y = 3\sin(\pi) = 0$. (Нуль)
• $x=1/2 + 3\pi/4 \Rightarrow y = 3\sin(3\pi/2) = -3$. (Минимум)
• $x=1/2 + \pi \Rightarrow y = 3\sin(2\pi) = 0$. (Нуль)

В результате объединения построенной части для $x \ge 1/2$ и ее зеркального отражения получается итоговый график.

Ответ: График функции симметричен относительно прямой $x=1/2$. Он строится путем построения графика функции $y=3\sin(2x-1)$ для $x \ge 1/2$ и его последующего симметричного отражения относительно прямой $x=1/2$.

2) $y = \frac{1}{2}\cos\left(2|x| + \frac{\pi}{3}\right)$

Данная функция является четной, так как замена $x$ на $-x$ не изменяет ее значения: $y(-x) = \frac{1}{2}\cos\left(2|-x| + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\cos\left(2|x| + \frac{\pi}{3}\right) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.

Поэтому для построения графика достаточно выполнить следующие шаги:

1. Построить график функции для $x \ge 0$. В этой области $|x| = x$, и функция принимает вид $y_1 = \frac{1}{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$.
2. Отразить полученную часть графика симметрично относительно оси OY, чтобы получить полный график.

График функции $y_1 = \frac{1}{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$ — это косинусоида, полученная из $y=\cos x$ преобразованиями:

• Сжатие по оси Ox в 2 раза (период становится $T=\pi$).
• Сдвиг влево на $\pi/6$ (аргумент можно записать как $2(x+\pi/6)$).
• Сжатие по оси Oy в 2 раза (амплитуда становится $1/2$).

Найдем ключевые точки для $y_1$ при $x \ge 0$:

• $x=0$: $y = \frac{1}{2}\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$. Точка $(0, 1/4)$ является точкой излома на итоговом графике.
• Нули функции ($y=0$): $2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$. Для $x \ge 0$ получаем $x=\frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \dots$
• Минимумы ($y=-1/2$): $2x + \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + \pi k$. Для $x \ge 0$ получаем $x=\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \dots$
• Максимумы ($y=1/2$): $2x + \frac{\pi}{3} = 2\pi k \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$. Для $x \ge 0$ получаем $x=\frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}, \dots$

Строим по этим точкам график для $x \ge 0$ и симметрично отражаем его относительно оси OY.

Ответ: График функции симметричен относительно оси OY. Для $x \ge 0$ он совпадает с графиком функции $y = \frac{1}{2}\cos(2x + \frac{\pi}{3})$. Часть графика для $x < 0$ получается симметричным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси OY.