Номер 21.7, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.7. Постройте график функции $y = \sin \left(|x| - \frac{\pi}{4}\right)$.

Для построения графика функции $y = \sin(|x| - \frac{\pi}{4})$ выполним последовательность преобразований графика базовой функции $y = \sin(x)$.

Построение будет состоять из следующих шагов:

1. Построение графика функции $y_1 = \sin(x)$.
2. Преобразование его в график функции $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{4})$ путем сдвига.
3. Получение итогового графика $y = \sin(|x| - \frac{\pi}{4})$ из графика $y_2$ с помощью преобразования, связанного с модулем аргумента.

Шаг 1: График функции $y_1 = \sin(x)$

Строим график стандартной синусоиды. Это периодическая функция с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. График проходит через начало координат, достигает максимума (значение 1) в точках $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ и минимума (значение -1) в точках $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ - целое число.

Шаг 2: График функции $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{4})$

График этой функции получается из графика $y_1 = \sin(x)$ сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Все ключевые точки графика смещаются на $\frac{\pi}{4}$ вправо. Например, точка (0, 0) переходит в $(\frac{\pi}{4}, 0)$, максимум из точки $x = \frac{\pi}{2}$ смещается в точку $x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Шаг 3: График функции $y = \sin(|x| - \frac{\pi}{4})$

Данная функция является четной, поскольку $y(-x) = \sin(|-x| - \frac{\pi}{4}) = \sin(|x| - \frac{\pi}{4}) = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).

Правило построения графика функции вида $y = f(|x|)$ на основе графика функции $y = f(x)$ заключается в следующем:

• Часть графика $y = f(x)$ для $x \ge 0$ сохраняется без изменений.
• Часть графика $y = f(x)$ для $x < 0$ удаляется.
• Сохраненная часть (для $x \ge 0$) отражается симметрично относительно оси Oy, и это отражение составляет часть графика для $x < 0$.

Применяя это правило к графику $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{4})$, мы получаем:

• Для $x \ge 0$, график искомой функции $y = \sin(|x| - \frac{\pi}{4})$ совпадает с графиком $y_2 = \sin(x - \frac{\pi}{4})$. Эта часть графика начинается в точке $(0, \sin(0 - \frac{\pi}{4})) = (0, \sin(-\frac{\pi}{4})) = (0, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.
• Для $x < 0$, график является зеркальным отражением части для $x \ge 0$ относительно оси Oy.

В точке $x = 0$ график имеет излом (острый угол), так как касательные к графику слева и справа от этой точки имеют разный наклон (производные $y'(0-)$ и $y'(0+)$ не равны).

Ответ: График функции $y = \sin(|x| - \frac{\pi}{4})$ симметричен относительно оси Oy. Он строится следующим образом: сначала строится график функции $y = \sin(x - \frac{\pi}{4})$ (синусоида, сдвинутая вправо на $\frac{\pi}{4}$), затем часть этого графика, соответствующая $x \ge 0$, оставляется, а часть для $x < 0$ заменяется на симметричное отражение оставленной части относительно оси Oy. В точке $(0, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ график имеет излом.