Номер 21.13, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.13. Возможно ли равенство:

1) $ \cos \alpha = 2 \sin 25^\circ $;

2) $ \sin \alpha = \sqrt{2} \cos 35^\circ $?

1) cos α = 2sin 25°

Для того чтобы равенство было возможным, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции косинус, то есть промежутку $[-1; 1]$. Проверим, выполняется ли условие $-1 \le 2\sin 25^\circ \le 1$.

Угол $25^\circ$ находится в первой четверти, где синус положителен. Рассмотрим известное значение $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

На промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция синус возрастает. Так как $25^\circ < 30^\circ$, то и $\sin 25^\circ < \sin 30^\circ$.

Следовательно, $\sin 25^\circ < \frac{1}{2}$.

Умножим обе части неравенства на 2:

$2\sin 25^\circ < 2 \cdot \frac{1}{2}$

$2\sin 25^\circ < 1$

Поскольку $\sin 25^\circ > 0$, то $2\sin 25^\circ > 0$. Таким образом, мы имеем двойное неравенство: $0 < 2\sin 25^\circ < 1$.

Значение $2\sin 25^\circ$ принадлежит интервалу $(0; 1)$, который входит в область значений косинуса $[-1; 1]$. Значит, существует такой угол $\alpha$, для которого данное равенство выполняется.

Ответ: да, возможно.

2) sin α = √2cos 35°

Для того чтобы равенство было возможным, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции синус, то есть промежутку $[-1; 1]$. Проверим, выполняется ли условие $-1 \le \sqrt{2}\cos 35^\circ \le 1$.

Угол $35^\circ$ находится в первой четверти, где косинус положителен. Рассмотрим известное значение $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ или $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

На промежутке от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция косинус убывает. Так как $35^\circ < 45^\circ$, то $\cos 35^\circ > \cos 45^\circ$.

Следовательно, $\cos 35^\circ > \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Умножим обе части неравенства на $\sqrt{2}$:

$\sqrt{2}\cos 35^\circ > \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{2}\cos 35^\circ > 1$

Значение выражения $\sqrt{2}\cos 35^\circ$ больше 1. Так как область значений функции синус — это промежуток $[-1; 1]$, не существует такого угла $\alpha$, для которого $\sin \alpha$ был бы больше 1.

Ответ: нет, невозможно.