Номер 21.14, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.14. Постройте график функции:

1) $y = \left|\sin\left|\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}\right|\right|;$

2) $y = \left|\cos\left|2x - \frac{\pi}{3}\right|\right|.$

1) Построение графика функции $y = |\sin|\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}||$ выполняется путем последовательных преобразований графика $y = \sin(x)$.
1. Построим график $y_1 = \sin(\frac{1}{2}x)$. Это график $y = \sin(x)$, растянутый в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
2. Построим график $y_2 = \sin(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6})$. Для этого преобразуем аргумент: $\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}(x + \frac{\pi}{3})$. Это означает, что график $y_1$ нужно сдвинуть влево по оси Ox на $\frac{\pi}{3}$.
3. Построим график $y_3 = \sin|\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}|$. Этот график симметричен относительно вертикальной прямой $x = -\frac{\pi}{3}$. Для $x \ge -\frac{\pi}{3}$ он совпадает с графиком $y_2$. Часть графика для $x < -\frac{\pi}{3}$ является зеркальным отражением части для $x \ge -\frac{\pi}{3}$ относительно прямой $x = -\frac{\pi}{3}$.
4. Итоговый график $y = |y_3| = |\sin|\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{6}||$ получается из графика $y_3$ путем отражения всех его частей, лежащих ниже оси Ox, симметрично вверх относительно оси Ox.

Ответ: График функции является непериодическим, симметричным относительно прямой $x = -\frac{\pi}{3}$. Он полностью лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Минимальное значение функции равно 0 (достигается в точках $x = -\frac{\pi}{3} \pm 2n\pi$, где $n$ - целое неотрицательное число), максимальное значение равно 1.

2) Построение графика функции $y = |\cos|2x - \frac{\pi}{3}||$ выполняется путем последовательных преобразований графика $y = \cos(x)$.
1. Построим график $y_1 = \cos(2x)$. Это график $y = \cos(x)$, сжатый в 2 раза вдоль оси Ox. Период функции становится $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$.
2. Построим график $y_2 = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$. Преобразуем аргумент: $2x - \frac{\pi}{3} = 2(x - \frac{\pi}{6})$. Это означает, что график $y_1$ нужно сдвинуть вправо по оси Ox на $\frac{\pi}{6}$.
3. Рассмотрим функцию $y_3 = \cos|2x - \frac{\pi}{3}|$. Так как функция косинус является четной, то есть $\cos(-u) = \cos(u)$ для любого $u$, то $\cos|2x - \frac{\pi}{3}| = \cos(2x - \frac{\pi}{3})$. Следовательно, график $y_3$ полностью совпадает с графиком $y_2$.
4. Итоговый график $y = |y_3| = |\cos(2x - \frac{\pi}{3})|$ получается из графика $y_2$ путем отражения всех его частей, лежащих ниже оси Ox, симметрично вверх относительно оси Ox.

Ответ: График функции является периодическим с периодом $T = \frac{\pi}{2}$. Он полностью лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Минимальное значение функции равно 0, максимальное значение равно 1.