Номер 21.8, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.8. Постройте график функции $y = 2\cos\left(|x| - \frac{\pi}{3}\right) - 1$.

Для построения графика функции $y = 2\cos(|x| - \frac{\pi}{3}) - 1$ выполним последовательность преобразований, начиная с базового графика функции $y = \cos(x)$.

1. Построение графика функции $y_1 = \cos(x)$
Начнем с графика стандартной косинусоиды. Это периодическая функция с периодом $2\pi$ и амплитудой 1. Область значений функции: $[-1, 1]$. Ключевые точки: $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$.

2. Построение графика функции $y_2 = \cos(x - \frac{\pi}{3})$
Этот график получается из графика $y_1$ сдвигом вправо вдоль оси абсцисс (Ox) на $\frac{\pi}{3}$. Максимум функции, который был в точке $(0, 1)$, теперь находится в точке $(\frac{\pi}{3}, 1)$.

3. Построение графика функции $y_3 = \cos(|x| - \frac{\pi}{3})$
Данное преобразование ($f(x) \to f(|x|)$) делает функцию четной, то есть ее график становится симметричным относительно оси ординат (Oy). Для построения графика $y_3$ мы берем ту часть графика $y_2$, которая находится при $x \ge 0$, и отражаем ее симметрично относительно оси Oy. Часть графика $y_2$ при $x < 0$ отбрасывается.

4. Построение графика функции $y_4 = 2\cos(|x| - \frac{\pi}{3})$
Умножаем значение функции $y_3$ на 2. Это приводит к растяжению графика вдоль оси Oy в 2 раза. Амплитуда колебаний увеличивается до 2. Область значений становится $[-2, 2]$. Максимальные значения функции теперь равны 2, а минимальные – -2. Точка пересечения с осью Oy, которая была $(0, \cos(-\frac{\pi}{3}))=(0, \frac{1}{2})$, становится $(0, 2 \cdot \frac{1}{2}) = (0, 1)$.

5. Построение графика функции $y = 2\cos(|x| - \frac{\pi}{3}) - 1$
Это финальный шаг. Сдвигаем график $y_4$ на 1 единицу вниз вдоль оси Oy.
В результате этих преобразований получаем следующие свойства итогового графика:
- Область значений: $[-2-1, 2-1] = [-3, 1]$.
- Максимумы графика равны 1 и достигаются при $|x| - \frac{\pi}{3} = 2\pi k$ ($k$ — целое, $k \ge 0$), то есть при $x = \pm(\frac{\pi}{3} + 2\pi k)$. Ближайшие к центру максимумы: $(\frac{\pi}{3}, 1)$ и $(-\frac{\pi}{3}, 1)$.
- Минимумы графика равны -3 и достигаются при $|x| - \frac{\pi}{3} = \pi + 2\pi k$ ($k$ — целое, $k \ge 0$), то есть при $x = \pm(\frac{4\pi}{3} + 2\pi k)$. Ближайшие к центру минимумы: $(\frac{4\pi}{3}, -3)$ и $(-\frac{4\pi}{3}, -3)$.
- Пересечение с осью Oy: при $x=0$ имеем $y = 2\cos(|0| - \frac{\pi}{3}) - 1 = 2\cos(-\frac{\pi}{3}) - 1 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.

Ответ: График функции $y = 2\cos(|x| - \frac{\pi}{3}) - 1$ строится путем последовательных преобразований графика $y=\cos(x)$: сдвиг вправо на $\frac{\pi}{3}$, затем симметричное отражение части графика при $x \ge 0$ относительно оси Oy, затем растяжение в 2 раза вдоль оси Oy и, наконец, сдвиг вниз на 1. Итоговый график является четной функцией, симметричной относительно оси Oy, проходит через начало координат, имеет область значений $[-3, 1]$.