Номер 21.5, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.5. Постройте график функции:

1) $y = \sin \left|x + \frac{\pi}{4}\right|$; 2) $y = 2\cos \left|x - \frac{\pi}{3}\right|$.

1) $y = \sin\left|x + \frac{\pi}{4}\right|$

Для построения графика данной функции воспользуемся методом преобразования графиков. Построение можно разбить на следующие этапы:

1. Сначала построим график базовой функции $y = \sin(x)$. Это стандартная синусоида с периодом $2\pi$ и амплитудой 1, проходящая через начало координат.
2. Далее построим график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$. Этот график получается из графика $y = \sin(x)$ сдвигом влево вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$. Точка $(0,0)$ переходит в точку $(-\frac{\pi}{4}, 0)$, максимум в $(\frac{\pi}{2}, 1)$ переходит в $(\frac{\pi}{4}, 1)$.
3. Теперь построим искомый график $y = \sin\left|x + \frac{\pi}{4}\right|$. Общий метод построения графика функции $y=f(|x-a|)$ состоит в следующем:
   • Строится график функции $y=f(x-a)$.
   • Сохраняется та часть графика, которая лежит правее или на вертикальной прямой $x=a$ (то есть для $x \ge a$).
   • Эта сохраненная часть графика симметрично отражается относительно прямой $x=a$.
   Применительно к нашей задаче ($a = -\frac{\pi}{4}$):
   Мы берем график функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$ и оставляем ту его часть, где $x + \frac{\pi}{4} \ge 0$, то есть $x \ge -\frac{\pi}{4}$. Затем эту часть графика симметрично отражаем относительно вертикальной прямой $x = -\frac{\pi}{4}$.

В результате график функции $y = \sin\left|x + \frac{\pi}{4}\right|$ будет симметричен относительно прямой $x = -\frac{\pi}{4}$. Справа от этой прямой он совпадает с синусоидой $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$, а слева является ее зеркальным отражением.

Ответ: График функции симметричен относительно вертикальной прямой $x = -\frac{\pi}{4}$. При $x \geq -\frac{\pi}{4}$ график совпадает с графиком функции $y = \sin(x + \frac{\pi}{4})$. При $x < -\frac{\pi}{4}$ график является зеркальным отражением части синусоиды для $x \geq -\frac{\pi}{4}$ относительно прямой $x = -\frac{\pi}{4}$. В точке $x = -\frac{\pi}{4}$ значение функции равно 0. Функция не является периодической.

2) $y = 2\cos\left|x - \frac{\pi}{3}\right|$

Построение этого графика выполним аналогично, по шагам:

1. Строим график функции $y = \cos(x)$.
2. Строим график $y = 2\cos(x)$. Он получается из графика $y = \cos(x)$ растяжением в 2 раза вдоль оси Oy. Амплитуда колебаний становится равной 2, а область значений $[-2, 2]$.
3. Далее строим график $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$. Этот график получается из графика $y = 2\cos(x)$ сдвигом вправо вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{3}$. Максимум функции, равный 2, будет в точке $x = \frac{\pi}{3}$.
4. Наконец, строим искомый график $y = 2\cos\left|x - \frac{\pi}{3}\right|$. Для этого, согласно общему правилу, мы берем построенный на предыдущем шаге график $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$, оставляем ту его часть, где $x - \frac{\pi}{3} \ge 0$ (то есть $x \ge \frac{\pi}{3}$), и симметрично отражаем эту часть относительно вертикальной прямой $x = \frac{\pi}{3}$.

В результате график функции $y = 2\cos\left|x - \frac{\pi}{3}\right|$ будет симметричен относительно прямой $x = \frac{\pi}{3}$. Справа от этой прямой он совпадает с графиком $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$, а слева является его зеркальным отражением.

Ответ: График функции симметричен относительно вертикальной прямой $x = \frac{\pi}{3}$. При $x \ge \frac{\pi}{3}$ он совпадает с графиком функции $y = 2\cos(x - \frac{\pi}{3})$. В точке $x = \frac{\pi}{3}$ функция достигает своего максимума, равного 2. Минимумы, равные -2, достигаются, например, в точках $x = \frac{4\pi}{3}$ (справа от оси симметрии) и $x = -\frac{2\pi}{3}$ (слева от оси симметрии). Функция не является периодической.