Номер 21.11, страница 163 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.11. Постройте график функции:

1) $y = 2\cos|3x + 2|$;

2) $y = -2\sin\left(\frac{1}{2}|x| - 1\right)$.

1) $y = 2\cos|3x + 2|$

Для построения графика данной функции сначала проанализируем выражение под знаком функции. Функция косинус является четной, то есть для любого значения аргумента $u$ справедливо равенство $\cos(-u) = \cos(u)$.

Рассмотрим аргумент нашей функции, $|3x + 2|$.

• Если $3x+2 \ge 0$ (то есть $x \ge -2/3$), то $|3x+2| = 3x+2$.
• Если $3x+2 < 0$ (то есть $x < -2/3$), то $|3x+2| = -(3x+2)$.

Следовательно, значение функции $\cos|3x+2|$ будет:

• $\cos(3x+2)$, если $x \ge -2/3$.
• $\cos(-(3x+2))$, если $x < -2/3$.

Так как $\cos(-(3x+2)) = \cos(3x+2)$ в силу четности функции косинуса, мы можем заключить, что $\cos|3x+2| = \cos(3x+2)$ для всех действительных значений $x$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = 2\cos(3x+2)$. Построение этого графика можно выполнить с помощью последовательных преобразований графика базовой функции $y = \cos(x)$.

1. Начнем с графика $y = \cos(x)$. Это стандартная косинусоида с амплитудой 1 и периодом $2\pi$.
2. Применим горизонтальное сжатие. Функция $y = \cos(3x)$ получается сжатием графика $y = \cos(x)$ к оси OY в 3 раза. Период функции уменьшается в 3 раза и становится равным $T = \frac{2\pi}{3}$.
3. Выполним горизонтальный сдвиг. Аргумент можно записать как $3x+2 = 3(x + 2/3)$. Это означает, что график $y = \cos(3x)$ нужно сдвинуть влево вдоль оси OX на $2/3$. В результате получаем график функции $y = \cos(3x+2)$.
4. Применим вертикальное растяжение. Умножение функции на 2, то есть $y = 2\cos(3x+2)$, растягивает график вдоль оси OY в 2 раза. Амплитуда колебаний становится равной 2, а область значений функции — отрезок $[-2, 2]$.

Ответ: График функции $y = 2\cos|3x + 2|$ полностью совпадает с графиком функции $y = 2\cos(3x+2)$. Это косинусоида с амплитудой 2, периодом $T = \frac{2\pi}{3}$ и сдвигом влево на $2/3$ относительно графика $y = 2\cos(3x)$.

2) $y = -2\sin\left(\frac{1}{2}|x| - 1\right)$

Данная функция является четной, поскольку аргумент зависит от $|x|$. Проверим это: $y(-x) = -2\sin\left(\frac{1}{2}|-x| - 1\right) = -2\sin\left(\frac{1}{2}|x| - 1\right) = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (OY).

Это свойство позволяет нам построить график в два этапа: сначала построить его для $x \ge 0$, а затем симметрично отразить полученную часть относительно оси OY, чтобы получить полный график.

Шаг 1: Построение графика для $x \ge 0$.

При $x \ge 0$ модуль раскрывается как $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = -2\sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)$.

Построим этот график с помощью последовательных преобразований, начиная с $y = \sin(x)$:

1. Строим график базовой функции $y = \sin(x)$.
2. Растягиваем его по горизонтали от оси OY в 2 раза. Получаем график $y = \sin(\frac{1}{2}x)$. Период этой функции становится $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi$.
3. Сдвигаем полученный график вправо вдоль оси OX. Для определения величины сдвига представим аргумент в виде $\frac{1}{2}x - 1 = \frac{1}{2}(x - 2)$. Сдвиг осуществляется на 2 единицы вправо. Получаем график функции $y = \sin\left(\frac{1}{2}(x - 2)\right) = \sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)$.
4. Растягиваем график по вертикали от оси OX в 2 раза. Получаем $y = 2\sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)$. Амплитуда становится равной 2, область значений — $[-2, 2]$.
5. Отражаем полученный график симметрично относительно оси OX из-за знака "минус" перед функцией. Получаем график $y = -2\sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)$. Это и есть часть искомого графика для $x \ge 0$.

Шаг 2: Построение полного графика.

Мы построили график для $x \ge 0$. Чтобы получить полный график исходной функции $y = -2\sin\left(\frac{1}{2}|x| - 1\right)$, нужно отразить построенную часть симметрично относительно оси OY. Объединение этих двух частей (для $x \ge 0$ и для $x < 0$) и будет искомым графиком.

Ответ: График функции является четным и симметричен относительно оси OY. Для его построения сначала строится график функции $y = -2\sin\left(\frac{1}{2}x - 1\right)$ для $x \ge 0$. Это синусоида, отраженная относительно оси OX, с амплитудой 2, периодом $4\pi$ и сдвигом на 2 единицы вправо. Затем эта часть графика отражается симметрично относительно оси OY для получения второй половины графика при $x < 0$.