Номер 21.20, страница 164 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

21.20. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $\cos\sqrt{a^2 - x^2} = 1$ имеет ровно восемь корней.

Исходное уравнение: $cos(\sqrt{a^2 - x^2}) = 1$.

Это уравнение равносильно тому, что аргумент косинуса равен $2\pi k$, где $k$ — целое число:
$\sqrt{a^2 - x^2} = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим ограничения на переменные и параметры:
1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $a^2 - x^2 \ge 0$, что означает $x^2 \le a^2$, или $-|a| \le x \le |a|$.
2. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен, поэтому $\sqrt{a^2 - x^2} \ge 0$. Следовательно, $2\pi k \ge 0$, что означает $k$ должно быть неотрицательным целым числом: $k \in \{0, 1, 2, 3, ...\}$.

Возведем обе части уравнения $\sqrt{a^2 - x^2} = 2\pi k$ в квадрат:
$a^2 - x^2 = (2\pi k)^2 = 4\pi^2k^2$.
Отсюда выразим $x^2$:
$x^2 = a^2 - 4\pi^2k^2$.

Проанализируем количество корней, которое дает это уравнение для каждого значения $k$:

• Если $a^2 - 4\pi^2k^2 > 0$, то $x^2$ имеет положительное значение, и мы получаем два различных корня: $x = \pm\sqrt{a^2 - 4\pi^2k^2}$.
• Если $a^2 - 4\pi^2k^2 = 0$, то $x^2 = 0$, и мы получаем один корень: $x = 0$.
• Если $a^2 - 4\pi^2k^2 < 0$, то уравнение не имеет действительных корней.

Нам нужно, чтобы исходное уравнение имело ровно восемь корней. Поскольку для каждого положительного значения $x^2$ мы получаем два корня ($x$ и $-x$), для получения восьми корней нам нужно, чтобы ровно четыре различных значения $k$ давали положительные значения для $x^2$.

Значения выражения $a^2 - 4\pi^2k^2$ уменьшаются с ростом $k$. Чтобы получить 8 корней, нам нужно, чтобы это выражение было строго положительным для четырех наименьших возможных значений $k$, то есть для $k=0, 1, 2, 3$. Для следующего значения $k=4$ выражение должно быть неположительным, чтобы не появились новые корни.

Таким образом, должны выполняться следующие условия:
1. Для $k=3$ выражение должно быть строго положительным (это автоматически обеспечит положительность и для $k=0, 1, 2$):
$a^2 - 4\pi^2(3^2) > 0$
$a^2 - 36\pi^2 > 0$
$a^2 > 36\pi^2$.

2. Для $k=4$ выражение должно быть неположительным:
$a^2 - 4\pi^2(4^2) \le 0$
$a^2 - 64\pi^2 \le 0$
$a^2 \le 64\pi^2$.

Проверим случай равенства $a^2 = 64\pi^2$. Если $a^2 = 64\pi^2$, то для $k=4$ мы получим $x^2 = 64\pi^2 - 64\pi^2 = 0$, что дает один корень $x=0$. Для $k=0, 1, 2, 3$ мы получим по два корня (всего 8). В сумме получится $8 + 1 = 9$ корней, что не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, равенство $a^2 = 64\pi^2$ нужно исключить.

Таким образом, система неравенств для $a^2$ принимает вид:
$\begin{cases} a^2 > 36\pi^2 \\ a^2 < 64\pi^2 \end{cases}$
что равносильно двойному неравенству $36\pi^2 < a^2 < 64\pi^2$.

Извлекая квадратный корень из всех частей неравенства, получаем:
$6\pi < |a| < 8\pi$.

Это неравенство эквивалентно объединению двух интервалов:
$a \in (-8\pi, -6\pi) \cup (6\pi, 8\pi)$.

Ответ: $a \in (-8\pi, -6\pi) \cup (6\pi, 8\pi)$.