Номер 22.3, страница 168 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.3. Постройте график функции:

1) $y = -tg x;$

2) $y = tg \left( x - \frac{\pi}{4} \right);$

3) $y = tg 3x.$

1) $y = -\text{tg } x$

График функции $y = -\text{tg } x$ получается из графика функции $y = \text{tg } x$ с помощью преобразования симметрии.

1. Сначала построим график базовой функции $y = \text{tg } x$. Это периодическая функция с периодом $T = \pi$, проходящая через начало координат. Ее вертикальные асимптоты — прямые вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Функция возрастает на каждом из интервалов области определения.

2. Чтобы получить график функции $y = -\text{tg } x$, нужно отразить график $y = \text{tg } x$ симметрично относительно оси абсцисс (оси Ox).

При этом преобразовании:

• Период функции не изменится и останется равным $\pi$.
• Положение вертикальных асимптот $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, не изменится.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox) $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$, также останутся на своих местах.
• Возрастание функции сменится на убывание. На каждом интервале области определения, например, на $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, функция $y = -\text{tg } x$ будет убывать.

Ответ: График функции $y = -\text{tg } x$ является зеркальным отражением графика $y = \text{tg } x$ относительно оси Ox.

2) $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$

График функции $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$ получается из графика функции $y = \text{tg } x$ с помощью параллельного переноса (сдвига).

1. За основу берем график функции $y = \text{tg } x$.

2. Преобразование вида $f(x-a)$ соответствует сдвигу графика функции $f(x)$ вдоль оси Ox. В нашем случае $a = \frac{\pi}{4}$, так как $a > 0$, сдвиг происходит вправо.

3. Таким образом, чтобы построить график $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$, нужно сдвинуть график $y = \text{tg } x$ вправо на $\frac{\pi}{4}$ единиц.

При этом преобразовании:

• Период функции не изменится и останется равным $\pi$.
• Вертикальные асимптоты сместятся вправо на $\frac{\pi}{4}$. Новые асимптоты будут задаваться уравнением $x = (\frac{\pi}{2} + \pi n) + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции также сместятся вправо на $\frac{\pi}{4}$. Новые нули будут в точках $x = \pi n + \frac{\pi}{4}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Характер монотонности (возрастание) сохранится.

Ответ: График функции $y = \text{tg}(x - \frac{\pi}{4})$ получается сдвигом графика $y = \text{tg } x$ вдоль оси Ox на $\frac{\pi}{4}$ вправо.

3) $y = \text{tg } 3x$

График функции $y = \text{tg } 3x$ получается из графика функции $y = \text{tg } x$ с помощью сжатия по горизонтали.

1. Снова начинаем с графика базовой функции $y = \text{tg } x$.

2. Преобразование вида $f(kx)$ при $|k| > 1$ соответствует сжатию графика функции $f(x)$ к оси Oy в $k$ раз. В нашем случае $k=3$.

3. Чтобы построить график $y = \text{tg } 3x$, нужно сжать график $y = \text{tg } x$ по горизонтали (вдоль оси Ox) в 3 раза.

При этом преобразовании:

• Период функции изменится. Новый период $T_1 = \frac{T}{|k|} = \frac{\pi}{3}$.
• Вертикальные асимптоты также "сблизятся". Их новое положение определяется из условия $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции находятся из условия $3x = \pi n$, откуда $x = \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$. Начало координат $(0,0)$ остается нулем функции.
• Функция по-прежнему будет возрастающей на каждом интервале области определения.

Ответ: График функции $y = \text{tg } 3x$ получается путем сжатия графика $y = \text{tg } x$ к оси Oy в 3 раза.