Номер 22.7, страница 169 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

22.7. Возможно ли равенство:

1) $\sin \alpha = \frac{2}{3} \operatorname{tg} 80^\circ;$

2) $\cos \alpha = \operatorname{ctg} \frac{\pi}{18}?$

1)Для того чтобы равенство $ \sin \alpha = \frac{2}{3} \tg 80^\circ $ было возможно, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции синус, то есть отрезку $ [-1; 1] $.
Оценим значение выражения $ \frac{2}{3} \tg 80^\circ $.
Функция тангенс является возрастающей на интервале $ (0^\circ; 90^\circ) $.
Известно, что $ \tg 60^\circ = \sqrt{3} $.
Поскольку $ 80^\circ > 60^\circ $, то $ \tg 80^\circ > \tg 60^\circ $, следовательно, $ \tg 80^\circ > \sqrt{3} $.
Тогда $ \frac{2}{3} \tg 80^\circ > \frac{2}{3} \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} $.
Сравним $ \frac{2\sqrt{3}}{3} $ с единицей. Возведем оба положительных числа в квадрат:
$ (\frac{2\sqrt{3}}{3})^2 = \frac{4 \cdot 3}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} $.
Так как $ \frac{4}{3} > 1 $, то и $ \frac{2\sqrt{3}}{3} > 1 $.
Таким образом, мы получили, что $ \frac{2}{3} \tg 80^\circ > 1 $.
Поскольку значение синуса любого угла не может превышать 1 ($ \sin \alpha \le 1 $), данное равенство невозможно.
Ответ: равенство невозможно.

2)Для того чтобы равенство $ \cos \alpha = \ctg \frac{\pi}{18} $ было возможно, значение выражения в правой части должно принадлежать области значений функции косинус, то есть отрезку $ [-1; 1] $.
Оценим значение выражения $ \ctg \frac{\pi}{18} $.
Переведем радианы в градусы: $ \frac{\pi}{18} = \frac{180^\circ}{18} = 10^\circ $.
Следовательно, нам нужно оценить $ \ctg 10^\circ $.
Функция котангенс является убывающей на интервале $ (0^\circ; 180^\circ) $.
Известно, что $ \ctg 30^\circ = \sqrt{3} $.
Поскольку $ 10^\circ < 30^\circ $, то $ \ctg 10^\circ > \ctg 30^\circ $, следовательно, $ \ctg 10^\circ > \sqrt{3} $.
Так как $ \sqrt{3} \approx 1.732 $, то $ \sqrt{3} > 1 $.
Таким образом, мы получили, что $ \ctg \frac{\pi}{18} > 1 $.
Поскольку значение косинуса любого угла не может превышать 1 ($ \cos \alpha \le 1 $), данное равенство невозможно.
Ответ: равенство невозможно.