Страница 174 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

23.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \sin^{10} x + \cos^{13} x$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \sin^{10}x + \cos^{13}x$ проанализируем её свойства.

Мы знаем, что для любого действительного числа $x$ справедливы неравенства $|\sin x| \le 1$ и $|\cos x| \le 1$.

Рассмотрим каждое слагаемое функции отдельно.

Поскольку $\sin x$ по модулю не превосходит 1, то $\sin^{10}x \le |\sin x|^{10} \le |\sin x|^2 = \sin^2x$.

Рассмотрим значения $x$, для которых $\cos x \ge 0$. В этом случае $0 \le \cos x \le 1$, и, следовательно, $\cos^{13}x \le \cos^2x$, так как для любого числа $a \in [0, 1]$ при $m > n > 0$ выполняется $a^m \le a^n$.

Таким образом, для всех $x$, при которых $\cos x \ge 0$, мы можем записать:

$f(x) = \sin^{10}x + \cos^{13}x \le \sin^2x + \cos^2x = 1$.

Это означает, что значение функции не может превышать 1.

Проверим, достигается ли значение 1. Это возможно, если в использованных нами неравенствах достигается равенство, то есть $\sin^{10}x = \sin^2x$ и $\cos^{13}x = \cos^2x$.

Первое равенство ($\sin^{10}x = \sin^2x$) выполняется, когда $\sin x = 0$ или $|\sin x| = 1$.

Второе равенство ($\cos^{13}x = \cos^2x$) выполняется, когда $\cos x = 0$ или $\cos x = 1$.

Рассмотрим точки, в которых эти условия выполняются:

• При $x = 2k\pi$ (где $k \in \mathbb{Z}$), имеем $\sin x = 0$ и $\cos x = 1$. Тогда $f(2k\pi) = 0^{10} + 1^{13} = 1$.
• При $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (где $k \in \mathbb{Z}$), имеем $\sin x = 1$ и $\cos x = 0$. Тогда $f(\frac{\pi}{2} + 2k\pi) = 1^{10} + 0^{13} = 1$.
• При $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ (где $k \in \mathbb{Z}$), имеем $\sin x = -1$ и $\cos x = 0$. Тогда $f(\frac{3\pi}{2} + 2k\pi) = (-1)^{10} + 0^{13} = 1$.

Мы показали, что функция может принимать значение 1. Так как $f(x) \le 1$ для всех $x$, где $\cos x \ge 0$, а для $x$, где $\cos x < 0$, значение $\cos^{13}x$ отрицательно, и $f(x) = \sin^{10}x + \cos^{13}x \le 1 + (\text{отрицательное число}) < 1$, то наибольшее значение функции равно 1.

Ответ: 1.

Снова рассмотрим функцию $f(x) = \sin^{10}x + \cos^{13}x$.

Поскольку показатель степени у синуса четный, слагаемое $\sin^{10}x$ всегда неотрицательно: $\sin^{10}x \ge 0$.

Показатель степени у косинуса нечетный. Так как наименьшее значение $\cos x$ равно -1, то наименьшее значение $\cos^{13}x$ равно $(-1)^{13} = -1$.

Складывая эти неравенства, получаем оценку для функции снизу:

$f(x) = \sin^{10}x + \cos^{13}x \ge 0 + (-1) = -1$.

Следовательно, значение функции всегда не меньше -1.

Проверим, достигается ли значение -1. Равенство $f(x) = -1$ возможно только в том случае, если оба слагаемых одновременно принимают свои минимальные значения, совместимые друг с другом. То есть, когда $\sin^{10}x = 0$ и $\cos^{13}x = -1$.

Условие $\sin^{10}x = 0$ означает, что $\sin x = 0$.

Условие $\cos^{13}x = -1$ означает, что $\cos x = -1$.

Оба эти условия ($\sin x = 0$ и $\cos x = -1$) выполняются одновременно при $x = \pi + 2k\pi$, где $k$ — любое целое число.

Найдем значение функции в этих точках:

$f(\pi + 2k\pi) = \sin^{10}(\pi + 2k\pi) + \cos^{13}(\pi + 2k\pi) = 0^{10} + (-1)^{13} = 0 - 1 = -1$.

Так как функция достигает значения -1, и мы показали, что $f(x) \ge -1$ для всех $x$, то наименьшее значение функции равно -1.

Ответ: -1.