Страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.5. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin(45^\circ + \alpha) - \cos(45^\circ + \alpha)}{\sin(45^\circ + \alpha) + \cos(45^\circ + \alpha)} = \operatorname{tg} \alpha;$

2) $\frac{\sin \alpha + 2\sin(60^\circ - \alpha)}{2\cos(30^\circ - \alpha) - \sqrt{3}\cos \alpha} = \sqrt{3} \operatorname{ctg} \alpha.$

Преобразуем левую часть тождества $ \frac{\sin(45° + \alpha) - \cos(45° + \alpha)}{\sin(45° + \alpha) + \cos(45° + \alpha)} = \text{tg } \alpha $.
Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы:
$ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $
$ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $
А также значениями тригонометрических функций для угла 45°: $ \sin 45° = \cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} $.
Раскроем синус и косинус в левой части:
$ \sin(45° + \alpha) = \sin 45° \cos \alpha + \cos 45° \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha) $
$ \cos(45° + \alpha) = \cos 45° \cos \alpha - \sin 45° \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha) $
Теперь подставим полученные выражения в числитель и знаменатель исходной дроби.
Преобразуем числитель:
$ \sin(45° + \alpha) - \cos(45° + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha) - \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha - \cos \alpha + \sin \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2 \sin \alpha) = \sqrt{2} \sin \alpha $.
Преобразуем знаменатель:
$ \sin(45° + \alpha) + \cos(45° + \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha) + \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha - \sin \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha - \sin \alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2}(2 \cos \alpha) = \sqrt{2} \cos \alpha $.
В результате получим дробь:
$ \frac{\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} \cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg } \alpha $.
Таким образом, левая часть тождества равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

Преобразуем левую часть тождества $ \frac{\sin \alpha + 2 \sin(60° - \alpha)}{2 \cos(30° - \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha} = \sqrt{3} \text{ ctg } \alpha $.
Для этого воспользуемся формулами синуса и косинуса разности:
$ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $
$ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $
Преобразуем числитель дроби, используя значения $ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \cos 60° = \frac{1}{2} $:
$ \sin \alpha + 2 \sin(60° - \alpha) = \sin \alpha + 2(\sin 60° \cos \alpha - \cos 60° \sin \alpha) = \sin \alpha + 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha - \frac{1}{2} \sin \alpha) = \sin \alpha + \sqrt{3} \cos \alpha - \sin \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha $.
Преобразуем знаменатель дроби, используя значения $ \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \sin 30° = \frac{1}{2} $:
$ 2 \cos(30° - \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha = 2(\cos 30° \cos \alpha + \sin 30° \sin \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha + \frac{1}{2} \sin \alpha) - \sqrt{3} \cos \alpha = \sqrt{3} \cos \alpha + \sin \alpha - \sqrt{3} \cos \alpha = \sin \alpha $.
Теперь составим дробь из преобразованных числителя и знаменателя:
$ \frac{\sqrt{3} \cos \alpha}{\sin \alpha} = \sqrt{3} \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \sqrt{3} \text{ ctg } \alpha $.
Таким образом, левая часть тождества равна правой.
Ответ: Тождество доказано.

24.6. Докажите тождество:

1) $\frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin\beta \cos\alpha}{\sin(\alpha - \beta) + \sin\beta \cos\alpha} = 1;$

2) $\frac{\sqrt{2} \cos\alpha - 2\sin(45^{\circ} - \alpha)}{2\sin(60^{\circ} + \alpha) - \sqrt{3} \cos\alpha} = \sqrt{2}.$

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, используя формулы синуса суммы и синуса разности:

$ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta $

$ \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta $

Подставим эти формулы в выражение.

Преобразуем числитель дроби:

$ \sin(\alpha + \beta) - \sin\beta\cos\alpha = (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) - \sin\beta\cos\alpha = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta - \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta $

Преобразуем знаменатель дроби:

$ \sin(\alpha - \beta) + \sin\beta\cos\alpha = (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) + \sin\beta\cos\alpha = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin\alpha\cos\beta $

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\cos\beta} = 1 $

Так как левая часть равна правой ($1 = 1$), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Рассмотрим числитель и знаменатель по отдельности.

Сначала преобразуем числитель: $ \sqrt{2}\cos\alpha - 2\sin(45^\circ - \alpha) $. Для этого используем формулу синуса разности $ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ и значения тригонометрических функций для угла $45^\circ$ ($ \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $).

$ \sin(45^\circ - \alpha) = \sin 45^\circ \cos\alpha - \cos 45^\circ \sin\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha $

Подставим это в выражение для числителя:

$ \sqrt{2}\cos\alpha - 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\alpha - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\alpha\right) = \sqrt{2}\cos\alpha - (\sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\sin\alpha) = \sqrt{2}\cos\alpha - \sqrt{2}\cos\alpha + \sqrt{2}\sin\alpha = \sqrt{2}\sin\alpha $

Теперь преобразуем знаменатель: $ 2\sin(60^\circ + \alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha $. Для этого используем формулу синуса суммы $ \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ и значения тригонометрических функций для угла $60^\circ$ ($ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $).

$ \sin(60^\circ + \alpha) = \sin 60^\circ \cos\alpha + \cos 60^\circ \sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha $

Подставим это в выражение для знаменателя:

$ 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\alpha\right) - \sqrt{3}\cos\alpha = (\sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha) - \sqrt{3}\cos\alpha = \sqrt{3}\cos\alpha + \sin\alpha - \sqrt{3}\cos\alpha = \sin\alpha $

Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{\sqrt{2}\sin\alpha}{\sin\alpha} = \sqrt{2} $

Так как левая часть равна правой ($ \sqrt{2} = \sqrt{2} $), тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

24.7. Дано:

$\sin\alpha = \frac{9}{41}$, $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите $\sin(\alpha + 45^\circ)$.

Для того чтобы найти значение $\sin(\alpha + 45^\circ)$, воспользуемся формулой синуса суммы двух углов:
$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta$
Применительно к нашей задаче, где $\beta = 45^\circ$, формула выглядит так:
$\sin(\alpha + 45^\circ) = \sin\alpha \cos 45^\circ + \cos\alpha \sin 45^\circ$
Из условия мы знаем, что $\sin\alpha = \frac{9}{41}$. Также нам известны значения тригонометрических функций для угла $45^\circ$: $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Чтобы завершить вычисление, нам необходимо найти значение $\cos\alpha$.

Мы можем найти $\cos\alpha$ из основного тригонометрического тождества: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
Выразим из него $\cos^2\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$
Подставим известное значение $\sin\alpha$:
$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{9}{41}\right)^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681}$
Отсюда следует, что $\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm\frac{40}{41}$.
В условии задачи указано, что $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Этот диапазон углов соответствует второй координатной четверти. В этой четверти косинус принимает отрицательные значения, поэтому мы выбираем знак "минус":
$\cos\alpha = -\frac{40}{41}$

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем подставить их в формулу синуса суммы:
$\sin(\alpha + 45^\circ) = \sin\alpha \cos 45^\circ + \cos\alpha \sin 45^\circ = \frac{9}{41} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \left(-\frac{40}{41}\right) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$
Выполним вычисления:
$\sin(\alpha + 45^\circ) = \frac{9\sqrt{2}}{82} - \frac{40\sqrt{2}}{82} = \frac{9\sqrt{2} - 40\sqrt{2}}{82} = \frac{(9-40)\sqrt{2}}{82} = -\frac{31\sqrt{2}}{82}$
Ответ: $-\frac{31\sqrt{2}}{82}$

41 24.8. Дано: $\cos\alpha = -0,6$, $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Найдите $\cos(60^\circ - \alpha)$.

Для нахождения значения выражения $\cos(60^\circ - \alpha)$ воспользуемся формулой косинуса разности:

$\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

Применим эту формулу для нашего выражения, где $A = 60^\circ$ и $B = \alpha$:

$\cos(60^\circ - \alpha) = \cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha$

Из условия задачи нам известно, что $\cos \alpha = -0,6$. Также мы знаем табличные значения для угла $60^\circ$: $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ и $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Для полного решения нам необходимо найти значение $\sin \alpha$. Для этого используем основное тригонометрическое тождество: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

Выразим $\sin^2 \alpha$:

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$

Подставим известное значение $\cos \alpha = -0,6$:

$\sin^2 \alpha = 1 - (-0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$

Следовательно, $\sin \alpha = \pm \sqrt{0,64} = \pm 0,8$.

Чтобы определить правильный знак для $\sin \alpha$, обратимся к условию $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Этот диапазон углов соответствует третьей координатной четверти. В третьей четверти значения синуса отрицательны. Таким образом, выбираем $\sin \alpha = -0,8$.

Теперь мы можем подставить все известные значения в исходную формулу:

$\cos(60^\circ - \alpha) = \cos 60^\circ \cos \alpha + \sin 60^\circ \sin \alpha = \frac{1}{2} \cdot (-0,6) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-0,8)$

Выполним вычисления:

$\cos(60^\circ - \alpha) = -0,3 - 0,4\sqrt{3}$

Чтобы записать ответ в виде обыкновенной дроби, преобразуем десятичные дроби:

$\cos(60^\circ - \alpha) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{6}{10}) + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{8}{10}) = -\frac{6}{20} - \frac{8\sqrt{3}}{20} = -\frac{3}{10} - \frac{4\sqrt{3}}{10} = \frac{-3 - 4\sqrt{3}}{10}$

Ответ: $\frac{-3 - 4\sqrt{3}}{10}$

24.9. Найдите $ \cos(\alpha + \beta) $, если $ \cos \alpha = \frac{3}{5} $, $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $ и $ \cos \beta = -\frac{4}{5} $, $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $.

Для того чтобы найти $ \cos(\alpha + \beta) $, воспользуемся формулой косинуса суммы:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta $

По условию нам даны значения $ \cos \alpha $ и $ \cos \beta $. Нам необходимо найти значения $ \sin \alpha $ и $ \sin \beta $.

1. Найдем $ \sin \alpha $.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $.

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $

Подставим известное значение $ \cos \alpha = \frac{3}{5} $:

$ \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25 - 9}{25} = \frac{16}{25} $

$ \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $

Согласно условию, угол $ \alpha $ находится в диапазоне $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $, что соответствует I координатной четверти. В этой четверти синус имеет положительное значение, следовательно:

$ \sin \alpha = \frac{4}{5} $

2. Найдем $ \sin \beta $.

Аналогично используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 $.

$ \sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta $

Подставим известное значение $ \cos \beta = -\frac{4}{5} $:

$ \sin^2 \beta = 1 - (-\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25 - 16}{25} = \frac{9}{25} $

$ \sin \beta = \pm\sqrt{\frac{9}{25}} = \pm\frac{3}{5} $

Согласно условию, угол $ \beta $ находится в диапазоне $ \frac{\pi}{2} < \beta < \pi $, что соответствует II координатной четверти. В этой четверти синус имеет положительное значение, следовательно:

$ \sin \beta = \frac{3}{5} $

3. Теперь подставим все найденные значения в формулу косинуса суммы:

$ \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{3}{5} \cdot (-\frac{4}{5}) - \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} $

$ \cos(\alpha + \beta) = -\frac{12}{25} - \frac{12}{25} = -\frac{24}{25} $

Ответ: $ -\frac{24}{25} $

24.10. Найдите $\sin(\alpha - \beta)$, если $\sin \alpha = -\frac{15}{17}$, $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ и $\cos \beta = \frac{7}{25}$, $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$.

Для того чтобы найти $sin(\alpha - \beta)$, мы используем формулу синуса разности двух углов:

$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$

Из условия задачи нам известны значения $sin(\alpha)$ и $cos(\beta)$. Нам необходимо найти $cos(\alpha)$ и $sin(\beta)$, используя основное тригонометрическое тождество $sin^2(x) + cos^2(x) = 1$ и информацию о том, в каких четвертях лежат углы $\alpha$ и $\beta$.

1. Найдем $cos(\alpha)$

Нам дано, что $sin(\alpha) = -\frac{15}{17}$ и $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$. Это означает, что угол $\alpha$ находится в третьей координатной четверти, где и синус, и косинус имеют отрицательные значения.

Из основного тригонометрического тождества:

$cos^2(\alpha) = 1 - sin^2(\alpha)$

$cos^2(\alpha) = 1 - (-\frac{15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289}$

$cos(\alpha) = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17}$

Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, $cos(\alpha)$ должен быть отрицательным. Поэтому:

$cos(\alpha) = -\frac{8}{17}$

2. Найдем $sin(\beta)$

Нам дано, что $cos(\beta) = \frac{7}{25}$ и $\frac{3\pi}{2} < \beta < 2\pi$. Это означает, что угол $\beta$ находится в четвертой координатной четверти, где косинус положителен, а синус отрицателен.

Из основного тригонометрического тождества:

$sin^2(\beta) = 1 - cos^2(\beta)$

$sin^2(\beta) = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$

$sin(\beta) = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$

Так как угол $\beta$ находится в четвертой четверти, $sin(\beta)$ должен быть отрицательным. Поэтому:

$sin(\beta) = -\frac{24}{25}$

3. Вычислим $sin(\alpha - \beta)$

Теперь подставим все известные значения в формулу синуса разности:

$sin(\alpha - \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) - cos(\alpha)sin(\beta)$

$sin(\alpha - \beta) = (-\frac{15}{17}) \cdot (\frac{7}{25}) - (-\frac{8}{17}) \cdot (-\frac{24}{25})$

Выполним умножение:

$sin(\alpha - \beta) = -\frac{15 \cdot 7}{17 \cdot 25} - \frac{8 \cdot 24}{17 \cdot 25}$

$sin(\alpha - \beta) = -\frac{105}{425} - \frac{192}{425}$

Теперь выполним вычитание:

$sin(\alpha - \beta) = \frac{-105 - 192}{425} = \frac{-297}{425}$

Ответ: $-\frac{297}{425}$.

24.11. Дано: $tg \alpha = \frac{1}{2}$, $\sin \beta = \frac{3}{5}$, $0 < \beta < \frac{\pi}{2}$. Найдите $\operatorname{tg}(\alpha+\beta)$.

Для решения задачи воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$ tg(\alpha + \beta) = \frac{tg \alpha + tg \beta}{1 - tg \alpha \cdot tg \beta} $

По условию нам дано значение $ tg \alpha = \frac{1}{2} $. Чтобы использовать формулу, нам необходимо найти значение $ tg \beta $.

Мы знаем, что $ sin \beta = \frac{3}{5} $ и угол $ \beta $ находится в интервале $ 0 < \beta < \frac{\pi}{2} $, что соответствует первой координатной четверти. В этой четверти косинус и тангенс положительны.

Найдем $ cos \beta $ с помощью основного тригонометрического тождества $ sin^2 \beta + cos^2 \beta = 1 $:

$ cos^2 \beta = 1 - sin^2 \beta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25} $

Так как $ \beta $ находится в первой четверти, $ cos \beta > 0 $, поэтому:

$ cos \beta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} $

Теперь мы можем найти $ tg \beta $:

$ tg \beta = \frac{sin \beta}{cos \beta} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4} $

Подставим найденные значения $ tg \alpha $ и $ tg \beta $ в формулу тангенса суммы:

$ tg(\alpha + \beta) = \frac{\frac{1}{2} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}} = \frac{\frac{2}{4} + \frac{3}{4}}{1 - \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{8}{8} - \frac{3}{8}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} $

Для деления дробей, умножим первую дробь на перевернутую вторую:

$ tg(\alpha + \beta) = \frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{8}{4} = 2 $

Ответ: 2.

24.12. Известно, что $\operatorname{tg} \alpha = \frac{2}{3}$. Найдите $\operatorname{tg}(45^{\circ} + \alpha)$.

Для нахождения значения $\text{tg}(45^\circ + \alpha)$ воспользуемся тригонометрической формулой тангенса суммы двух углов:

$$ \text{tg}(A + B) = \frac{\text{tg}A + \text{tg}B}{1 - \text{tg}A \cdot \text{tg}B} $$

В нашем случае $A = 45^\circ$ и $B = \alpha$. Применим эту формулу:

$$ \text{tg}(45^\circ + \alpha) = \frac{\text{tg}(45^\circ) + \text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}(45^\circ) \cdot \text{tg}\alpha} $$

Известно, что $\text{tg}(45^\circ) = 1$, а по условию задачи $\text{tg}\alpha = \frac{2}{3}$. Подставим эти значения в выражение:

$$ \text{tg}(45^\circ + \alpha) = \frac{1 + \frac{2}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{2}{3}} $$

Теперь выполним вычисления. Упростим числитель и знаменатель дроби.

В числителе получаем: $1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

В знаменателе получаем: $1 - \frac{2}{3} = \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$$ \text{tg}(45^\circ + \alpha) = \frac{\frac{5}{3}}{\frac{1}{3}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{3}{1} = 5 $$

Ответ: 5

24.13. Докажите тождество:

1) $\text{tg} \alpha - \text{tg} \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$;

2) $\text{ctg} \alpha + \text{tg} \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \beta}$.

1)

Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть. Для этого воспользуемся определениями тангенса: $tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$ и $tg \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$.

$tg \alpha - tg \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\cos \alpha \cos \beta$:

$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}$

Числитель полученной дроби представляет собой формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$.

Подставим эту формулу в наше выражение:

$\frac{\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$

Мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $tg \alpha - tg \beta = \frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Используем определения котангенса $ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$ и тангенса $tg \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$.

$ctg \alpha + tg \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin \alpha \cos \beta$:

$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta}$

Числитель полученной дроби представляет собой формулу косинуса разности двух углов: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$.

Подставим эту формулу в наше выражение:

$\frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta} = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \beta}$

Мы преобразовали левую часть равенства к виду правой части. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: $ctg \alpha + tg \beta = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin \alpha \cos \beta}$.

24.14. Докажите тождество $\text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала выразим котангенсы через синусы и косинусы, используя определение котангенса $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$ctg \alpha + ctg \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$

Далее, приведем дроби к общему знаменателю, который равен $\sin \alpha \sin \beta$:
$\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\cos \beta}{\sin \beta} = \frac{\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta}$

Выражение в числителе представляет собой развернутую формулу синуса суммы двух углов: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$. Применив эту формулу, получаем:
$\frac{\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta}{\sin \alpha \sin \beta} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta}$

В результате преобразований левая часть тождества оказалась равна правой части. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

24.15. Упростите выражение:

1) $\cos \frac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \frac{\alpha}{4} + \sin \frac{\alpha}{2};$

2) $\frac{1}{1 + \operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} 2\alpha}.$

1) Исходное выражение: $ \cos\frac{\alpha}{2}\text{ctg}\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2} $.

Представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $ \text{ctg}\frac{\alpha}{4} = \frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} $.

Подставим это в выражение:

$ \cos\frac{\alpha}{2} \cdot \frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} + \sin\frac{\alpha}{2} $

Приведем к общему знаменателю $ \sin\frac{\alpha}{4} $:

$ \frac{\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} $

Числитель дроби имеет вид $ \cos A \cos B + \sin A \sin B $, что является формулой косинуса разности $ \cos(A - B) $. В данном случае $ A = \frac{\alpha}{2} $ и $ B = \frac{\alpha}{4} $.

Применим формулу к числителю:

$ \cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{4} + \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{4} = \cos(\frac{\alpha}{2} - \frac{\alpha}{4}) = \cos(\frac{2\alpha - \alpha}{4}) = \cos\frac{\alpha}{4} $

Подставим упрощенный числитель обратно в выражение:

$ \frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} $

Это выражение по определению равно котангенсу угла $ \frac{\alpha}{4} $.

$ \frac{\cos\frac{\alpha}{4}}{\sin\frac{\alpha}{4}} = \text{ctg}\frac{\alpha}{4} $

Ответ: $ \text{ctg}\frac{\alpha}{4} $.

2) Исходное выражение: $ \frac{1}{1 + \text{tg}\alpha\text{tg}2\alpha} $.

Представим тангенсы как отношение синуса к косинусу: $ \text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} $ и $ \text{tg}2\alpha = \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} $.

Подставим эти выражения в знаменатель исходной дроби:

$ 1 + \text{tg}\alpha\text{tg}2\alpha = 1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = 1 + \frac{\sin\alpha\sin2\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha} $

Приведем слагаемые в знаменателе к общему знаменателю $ \cos\alpha\cos2\alpha $:

$ \frac{\cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha} $

Числитель полученной дроби, $ \cos\alpha\cos2\alpha + \sin\alpha\sin2\alpha $, соответствует формуле косинуса разности $ \cos(A - B) $. Пусть $ A = 2\alpha $ и $ B = \alpha $. Тогда:

$ \cos2\alpha\cos\alpha + \sin2\alpha\sin\alpha = \cos(2\alpha - \alpha) = \cos\alpha $

Таким образом, знаменатель исходного выражения упрощается до:

$ \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha} $

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$ \frac{1}{\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha\cos2\alpha}} = 1 \cdot \frac{\cos\alpha\cos2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha\cos2\alpha}{\cos\alpha} $

При условии, что $ \cos\alpha \neq 0 $ (что является условием существования $ \text{tg}\alpha $), мы можем сократить дробь на $ \cos\alpha $:

$ \cos2\alpha $

Ответ: $ \cos2\alpha $.

24.16. Упростите выражение:

1) $\cos 2\alpha + \sin 2\alpha \operatorname{tg} \alpha;$

2) $\cos 4\alpha - \sin 4\alpha \operatorname{ctg} 2\alpha.$

1)

Упростим выражение $cos2\alpha + \sin2\alpha \cdot \text{tg}\alpha$.

Сначала заменим $\text{tg}\alpha$ на $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$\cos2\alpha + \sin2\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

Приведем все выражение к общему знаменателю $\cos\alpha$:

$\frac{\cos2\alpha \cos\alpha + \sin2\alpha \sin\alpha}{\cos\alpha}$

Выражение в числителе является развернутой формулой косинуса разности: $\cos(x - y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$.

Применим эту формулу для $x=2\alpha$ и $y=\alpha$:

$\frac{\cos(2\alpha - \alpha)}{\cos\alpha} = \frac{\cos\alpha}{\cos\alpha} = 1$

Ответ: 1

2)

Упростим выражение $\cos4\alpha - \sin4\alpha \cdot \text{ctg}2\alpha$.

Сначала заменим $\text{ctg}2\alpha$ на $\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$:

$\cos4\alpha - \sin4\alpha \cdot \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$

Приведем все выражение к общему знаменателю $\sin2\alpha$:

$\frac{\cos4\alpha \sin2\alpha - \sin4\alpha \cos2\alpha}{\sin2\alpha}$

Выражение в числителе является развернутой формулой синуса разности: $\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$.

Применим эту формулу для $x=2\alpha$ и $y=4\alpha$:

$\frac{\sin(2\alpha - 4\alpha)}{\sin2\alpha} = \frac{\sin(-2\alpha)}{\sin2\alpha}$

Используем свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin z$:

$\frac{-\sin2\alpha}{\sin2\alpha} = -1$

Ответ: -1

24.17. Пользуясь формулами сложения, найдите:

1) $ \sin 15^\circ $;

2) $ \sin 105^\circ $;

3) $ \operatorname{ctg} 105^\circ $.

24.18. Пользуясь формулами сложения, найдите:

1) $ \cos 75^\circ $;

2) $ \sin 75^\circ $.

Для решения этой задачи мы воспользуемся формулами сложения для тригонометрических функций. Угол $75^\circ$ можно представить в виде суммы двух стандартных углов, значения синусов и косинусов которых нам известны: $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$.

Нам понадобятся следующие значения:
$ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $
$ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $
$ \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} $

1) cos75°;

Используем формулу косинуса суммы: $ \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta $.
Подставим $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:$
$ \cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) $
Теперь подставим известные значения:
$ \cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $
Ответ: $ \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} $

2) sin75°.

Используем формулу синуса суммы: $ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta $.
Подставим $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:$
$ \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) $
Теперь подставим известные значения:
$ \sin(75^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $
Ответ: $ \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $

24.19. Упростите выражение:

1) $\text{tg}10^\circ + \text{tg}50^\circ + \sqrt{3}\text{tg}10^\circ\text{tg}50^\circ$;

2) $\text{tg}70^\circ - \text{tg}25^\circ - \text{tg}70^\circ\text{tg}25^\circ$.

1)

Рассмотрим выражение $tg10^\circ + tg50^\circ + \sqrt{3}tg10^\circ tg50^\circ$.

Заметим, что сумма углов $10^\circ$ и $50^\circ$ равна $60^\circ$, а тангенс этого угла является известной величиной: $tg(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha tg\beta}$

Подставим в эту формулу $\alpha = 10^\circ$ и $\beta = 50^\circ$:

$tg(10^\circ + 50^\circ) = \frac{tg10^\circ + tg50^\circ}{1 - tg10^\circ tg50^\circ}$

$tg(60^\circ) = \frac{tg10^\circ + tg50^\circ}{1 - tg10^\circ tg50^\circ}$

Подставим известное значение $tg(60^\circ) = \sqrt{3}$ в уравнение:

$\sqrt{3} = \frac{tg10^\circ + tg50^\circ}{1 - tg10^\circ tg50^\circ}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 - tg10^\circ tg50^\circ)$:

$\sqrt{3} \cdot (1 - tg10^\circ tg50^\circ) = tg10^\circ + tg50^\circ$

Раскроем скобки в левой части:

$\sqrt{3} - \sqrt{3}tg10^\circ tg50^\circ = tg10^\circ + tg50^\circ$

Перенесем слагаемое с произведением тангенсов в правую часть уравнения, чтобы получить вид исходного выражения:

$\sqrt{3} = tg10^\circ + tg50^\circ + \sqrt{3}tg10^\circ tg50^\circ$

Таким образом, значение исходного выражения равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

2)

Рассмотрим выражение $tg70^\circ - tg25^\circ - tg70^\circ tg25^\circ$.

Заметим, что разность углов $70^\circ$ и $25^\circ$ равна $45^\circ$, а тангенс этого угла является известной величиной: $tg(45^\circ) = 1$.

Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha tg\beta}$

Подставим в эту формулу $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 25^\circ$:

$tg(70^\circ - 25^\circ) = \frac{tg70^\circ - tg25^\circ}{1 + tg70^\circ tg25^\circ}$

$tg(45^\circ) = \frac{tg70^\circ - tg25^\circ}{1 + tg70^\circ tg25^\circ}$

Подставим известное значение $tg(45^\circ) = 1$ в уравнение:

$1 = \frac{tg70^\circ - tg25^\circ}{1 + tg70^\circ tg25^\circ}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 + tg70^\circ tg25^\circ)$:

$1 \cdot (1 + tg70^\circ tg25^\circ) = tg70^\circ - tg25^\circ$

Раскроем скобки в левой части:

$1 + tg70^\circ tg25^\circ = tg70^\circ - tg25^\circ$

Перенесем слагаемое с произведением тангенсов в правую часть уравнения, чтобы получить вид исходного выражения:

$1 = tg70^\circ - tg25^\circ - tg70^\circ tg25^\circ$

Таким образом, значение исходного выражения равно $1$.

Ответ: $1$

24.20. Упростите выражение:

1) $\tan 80^\circ - \tan 20^\circ - \sqrt{3}\tan 80^\circ \tan 20^\circ;$

2) $\tan 35^\circ + \tan 10^\circ + \tan 35^\circ \tan 10^\circ.$

1) $\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ - \sqrt{3}\text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$\text{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\text{tg}\alpha - \text{tg}\beta}{1 + \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$

Пусть $\alpha = 80^\circ$ и $\beta = 20^\circ$. Тогда разность углов будет $\alpha - \beta = 80^\circ - 20^\circ = 60^\circ$.

Значение тангенса этого угла известно: $\text{tg}(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Подставим наши углы в формулу:

$\text{tg}(80^\circ - 20^\circ) = \frac{\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ}{1 + \text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ}$

Приравняем это выражение к значению $\text{tg}60^\circ$:

$\frac{\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ}{1 + \text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ} = \sqrt{3}$

Теперь выразим из этого уравнения разность тангенсов $\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ$, умножив обе части на знаменатель $(1 + \text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ)$:

$\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ = \sqrt{3}(1 + \text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ)$

Раскроем скобки в правой части:

$\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ = \sqrt{3} + \sqrt{3}\text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ$

Перенесем член $\sqrt{3}\text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ$ в левую часть уравнения, чтобы получить исходное выражение:

$\text{tg}80^\circ - \text{tg}20^\circ - \sqrt{3}\text{tg}80^\circ\text{tg}20^\circ = \sqrt{3}$

Таким образом, значение исходного выражения равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

2) $\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ + \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ$

Для решения этой задачи воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$\text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg}\alpha + \text{tg}\beta}{1 - \text{tg}\alpha\text{tg}\beta}$

Пусть $\alpha = 35^\circ$ и $\beta = 10^\circ$. Тогда сумма углов будет $\alpha + \beta = 35^\circ + 10^\circ = 45^\circ$.

Значение тангенса этого угла известно: $\text{tg}(45^\circ) = 1$.

Подставим наши углы в формулу:

$\text{tg}(35^\circ + 10^\circ) = \frac{\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ}{1 - \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ}$

Приравняем это выражение к значению $\text{tg}45^\circ$:

$\frac{\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ}{1 - \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ} = 1$

Теперь выразим из этого уравнения сумму тангенсов $\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ$, умножив обе части на знаменатель $(1 - \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ)$:

$\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ = 1 \cdot (1 - \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ)$

$\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ = 1 - \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ$

Перенесем член $-\text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ$ в левую часть уравнения, чтобы получить исходное выражение:

$\text{tg}35^\circ + \text{tg}10^\circ + \text{tg}35^\circ\text{tg}10^\circ = 1$

Таким образом, значение исходного выражения равно 1.

Ответ: $1$