Номер 24.19, страница 178 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.19. Упростите выражение:

1) $\text{tg}10^\circ + \text{tg}50^\circ + \sqrt{3}\text{tg}10^\circ\text{tg}50^\circ$;

2) $\text{tg}70^\circ - \text{tg}25^\circ - \text{tg}70^\circ\text{tg}25^\circ$.

1)

Рассмотрим выражение $tg10^\circ + tg50^\circ + \sqrt{3}tg10^\circ tg50^\circ$.

Заметим, что сумма углов $10^\circ$ и $50^\circ$ равна $60^\circ$, а тангенс этого угла является известной величиной: $tg(60^\circ) = \sqrt{3}$.

Воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов:

$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha tg\beta}$

Подставим в эту формулу $\alpha = 10^\circ$ и $\beta = 50^\circ$:

$tg(10^\circ + 50^\circ) = \frac{tg10^\circ + tg50^\circ}{1 - tg10^\circ tg50^\circ}$

$tg(60^\circ) = \frac{tg10^\circ + tg50^\circ}{1 - tg10^\circ tg50^\circ}$

Подставим известное значение $tg(60^\circ) = \sqrt{3}$ в уравнение:

$\sqrt{3} = \frac{tg10^\circ + tg50^\circ}{1 - tg10^\circ tg50^\circ}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 - tg10^\circ tg50^\circ)$:

$\sqrt{3} \cdot (1 - tg10^\circ tg50^\circ) = tg10^\circ + tg50^\circ$

Раскроем скобки в левой части:

$\sqrt{3} - \sqrt{3}tg10^\circ tg50^\circ = tg10^\circ + tg50^\circ$

Перенесем слагаемое с произведением тангенсов в правую часть уравнения, чтобы получить вид исходного выражения:

$\sqrt{3} = tg10^\circ + tg50^\circ + \sqrt{3}tg10^\circ tg50^\circ$

Таким образом, значение исходного выражения равно $\sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

2)

Рассмотрим выражение $tg70^\circ - tg25^\circ - tg70^\circ tg25^\circ$.

Заметим, что разность углов $70^\circ$ и $25^\circ$ равна $45^\circ$, а тангенс этого угла является известной величиной: $tg(45^\circ) = 1$.

Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$tg(\alpha - \beta) = \frac{tg\alpha - tg\beta}{1 + tg\alpha tg\beta}$

Подставим в эту формулу $\alpha = 70^\circ$ и $\beta = 25^\circ$:

$tg(70^\circ - 25^\circ) = \frac{tg70^\circ - tg25^\circ}{1 + tg70^\circ tg25^\circ}$

$tg(45^\circ) = \frac{tg70^\circ - tg25^\circ}{1 + tg70^\circ tg25^\circ}$

Подставим известное значение $tg(45^\circ) = 1$ в уравнение:

$1 = \frac{tg70^\circ - tg25^\circ}{1 + tg70^\circ tg25^\circ}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(1 + tg70^\circ tg25^\circ)$:

$1 \cdot (1 + tg70^\circ tg25^\circ) = tg70^\circ - tg25^\circ$

Раскроем скобки в левой части:

$1 + tg70^\circ tg25^\circ = tg70^\circ - tg25^\circ$

Перенесем слагаемое с произведением тангенсов в правую часть уравнения, чтобы получить вид исходного выражения:

$1 = tg70^\circ - tg25^\circ - tg70^\circ tg25^\circ$

Таким образом, значение исходного выражения равно $1$.

Ответ: $1$