Номер 24.22, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.22. Докажите тождество:

1) $\cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = \cos^2\alpha - \sin^2\beta;$

2) $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) - (\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta) - \operatorname{tg}(\alpha + \beta)\operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta = 0.$

1) Докажем тождество $cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) = cos^2\alpha - sin^2\beta$.
Преобразуем левую часть равенства. Используем формулы косинуса суммы и разности:
$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$
$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$
Следовательно, левая часть равна произведению правых частей этих формул:
$cos(\alpha + \beta)cos(\alpha - \beta) = (cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta)(cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta)$.
Применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем:
$(cos\alpha cos\beta)^2 - (sin\alpha sin\beta)^2 = cos^2\alpha cos^2\beta - sin^2\alpha sin^2\beta$.
Чтобы привести полученное выражение к виду в правой части доказываемого тождества, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $sin^2x + cos^2x = 1$. Заменим $sin^2\alpha = 1 - cos^2\alpha$:
$cos^2\alpha cos^2\beta - (1 - cos^2\alpha)sin^2\beta = cos^2\alpha cos^2\beta - sin^2\beta + cos^2\alpha sin^2\beta$.
Сгруппируем слагаемые с $cos^2\alpha$ и вынесем его за скобки:
$cos^2\alpha(cos^2\beta + sin^2\beta) - sin^2\beta$.
Так как $cos^2\beta + sin^2\beta = 1$, выражение упрощается до:
$cos^2\alpha \cdot 1 - sin^2\beta = cos^2\alpha - sin^2\beta$.
Таким образом, левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $tg(\alpha + \beta) - (tg\alpha + tg\beta) - tg(\alpha + \beta)tg\alpha tg\beta = 0$.
Это тождество является прямым следствием формулы тангенса суммы углов:
$tg(\alpha + \beta) = \frac{tg\alpha + tg\beta}{1 - tg\alpha tg\beta}$
Данное равенство верно при условии, что все тангенсы существуют и знаменатель $1 - tg\alpha tg\beta \neq 0$.
Умножим обе части формулы на знаменатель $(1 - tg\alpha tg\beta)$:
$tg(\alpha + \beta)(1 - tg\alpha tg\beta) = tg\alpha + tg\beta$.
Раскроем скобки в левой части равенства:
$tg(\alpha + \beta) - tg(\alpha + \beta)tg\alpha tg\beta = tg\alpha + tg\beta$.
Перенесем все слагаемые из правой части в левую, изменив их знаки:
$tg(\alpha + \beta) - tg(\alpha + \beta)tg\alpha tg\beta - (tg\alpha + tg\beta) = 0$.
Переставив слагаемые, получим в точности доказываемое тождество:
$tg(\alpha + \beta) - (tg\alpha + tg\beta) - tg(\alpha + \beta)tg\alpha tg\beta = 0$.
Следовательно, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.