Номер 24.27, страница 179 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

24.27. Дано: $\cos(5^{\circ} + \alpha) = 0,6$, $0^{\circ} < \alpha < 55^{\circ}$. Найдите $\operatorname{tg}(35^{\circ} + \alpha)$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся тригонометрическими тождествами и формулами.

Пусть $A = 5^\circ + \alpha$. По условию нам дано, что $\cos(A) = 0,6$. Требуется найти значение $\text{tg}(35^\circ + \alpha)$.

Сначала преобразуем аргумент искомой функции, используя формулу приведения $\text{tg}(90^\circ - x) = \text{ctg}(x)$:

$\text{tg}(35^\circ + \alpha) = \text{tg}(90^\circ - 90^\circ + 35^\circ + \alpha) = \text{tg}(90^\circ - (55^\circ - \alpha))$.

Применив формулу, получаем:

$\text{tg}(35^\circ + \alpha) = \text{ctg}(55^\circ - \alpha)$.

Теперь рассмотрим связь между углами $A = 5^\circ + \alpha$ и $B = 55^\circ - \alpha$. Найдем их сумму:

$A + B = (5^\circ + \alpha) + (55^\circ - \alpha) = 60^\circ$.

Отсюда следует, что $B = 60^\circ - A$. Таким образом, наша задача свелась к нахождению $\text{ctg}(60^\circ - A)$, зная, что $\cos(A) = 0,6$.

Для дальнейших вычислений нам понадобится значение $\text{ctg}(A)$. Сначала найдем $\sin(A)$. Из условия $0^\circ < \alpha < 55^\circ$ следует, что $5^\circ < 5^\circ + \alpha < 60^\circ$, то есть угол $A$ находится в первой четверти, а значит, его синус положителен.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2(A) + \cos^2(A) = 1$:

$\sin^2(A) = 1 - \cos^2(A) = 1 - (0,6)^2 = 1 - 0,36 = 0,64$.

$\sin(A) = \sqrt{0,64} = 0,8$.

Теперь можем найти котангенс угла $A$:

$\text{ctg}(A) = \frac{\cos(A)}{\sin(A)} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{3}{4}$.

Далее применим формулу котангенса разности углов: $\text{ctg}(x - y) = \frac{\text{ctg}(x)\text{ctg}(y) + 1}{\text{ctg}(y) - \text{ctg}(x)}$.

$\text{ctg}(60^\circ - A) = \frac{\text{ctg}(60^\circ)\text{ctg}(A) + 1}{\text{ctg}(A) - \text{ctg}(60^\circ)}$.

Мы знаем, что $\text{ctg}(60^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Подставим известные значения в формулу:

$\text{ctg}(60^\circ - A) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{4} + 1}{\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} + 1}{\frac{9 - 4\sqrt{3}}{12}} = \frac{\frac{4 + \sqrt{3}}{4}}{\frac{9 - 4\sqrt{3}}{12}}$.

Упростим полученное многоэтажное дроби:

$\frac{4 + \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{12}{9 - 4\sqrt{3}} = \frac{3(4 + \sqrt{3})}{9 - 4\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $9 + 4\sqrt{3}$:

$\frac{3(4 + \sqrt{3})(9 + 4\sqrt{3})}{(9 - 4\sqrt{3})(9 + 4\sqrt{3})} = \frac{3(36 + 16\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 4 \cdot 3)}{9^2 - (4\sqrt{3})^2} = \frac{3(36 + 25\sqrt{3} + 12)}{81 - 16 \cdot 3} = \frac{3(48 + 25\sqrt{3})}{81 - 48} = \frac{3(48 + 25\sqrt{3})}{33}$.

Сократим дробь на 3, получив окончательный результат:

$\frac{48 + 25\sqrt{3}}{11}$.

Ответ: $\frac{48 + 25\sqrt{3}}{11}$.